Таблицы

В конце книги — шесть таблиц: T1–T5 и T7 (таблицы с номером 6 в книге нет). Здесь они не сфотографированы, а посчитаны: каждая клетка вычисляется в браузере, поэтому годятся любые уровни и степени свободы, а не только напечатанные. Числа совпадают с книжными в пределах последнего знака.

Смысл по-пацански: раньше статистик без таблиц был как пацан без ключей — ни во двор, ни домой. Сейчас таблица — это одна строчка кода. Но читать её всё равно надо уметь: в каждой задаче книги ответ сверяется именно с ней.

По кирпичикам: любая таблица здесь отвечает на один из двух вопросов.

Прямой: дано значение статистики — какова вероятность хвоста? (T2.)
Обратный: дан уровень $p$ — какое значение отсекает хвост? Это квантиль $y_p$ : $\mathsf P(\xi \le y_p) = p$ . (T3, T4, T5, T7.)

Критерий уровня $\alpha$ отвергает гипотезу, если статистика вылезла за квантиль уровня $1 - \alpha$ (односторонний) или $1 - \alpha/2$ (двусторонний).

T1. Случайные числа

Фрагменты таблиц случайных чисел: равномерные двузначные числа 00–99 и нормальные $\mathcal N(0, 1)$ с двумя знаками. Ими в книге «вручную» моделируются выборки и случайные разбиения (гл. 2, гл. 24). Откуда такие таблицы берутся и чем их заменили датчики — гл. 2 и 3.

1	10	09	73	25	33	76	52	01	35	86	34	67	35	48	76
2	37	54	20	48	05	64	89	47	42	96	24	80	52	40	37
3	08	42	26	89	53	19	64	50	93	03	23	20	90	25	60
4	99	01	90	25	29	09	37	67	07	15	38	31	13	11	65
5	12	80	79	99	70	80	15	73	61	47	64	03	23	66	53
6	66	06	57	47	17	34	07	27	68	50	36	69	73	61	70
7	31	06	01	08	05	45	57	18	24	06	35	30	34	26	14
8	85	26	97	76	02	02	05	16	56	92	68	66	57	48	18
9	63	57	33	21	35	05	32	54	70	48	90	55	35	75	48
10	73	79	64	57	53	03	52	96	47	78	35	80	83	42	82
11	98	52	01	77	67	14	90	56	86	07	22	10	94	05	58
12	11	80	50	54	31	39	80	82	77	32	50	72	56	82	48
13	83	45	29	96	34	06	28	89	80	83	13	74	67	00	78
14	88	68	54	02	00	86	50	75	84	01	36	76	66	79	51
15	99	59	46	73	48	87	51	76	49	69	91	82	60	89	28
16	65	48	11	76	74	17	46	85	09	50	58	04	77	69	74
17	80	12	43	56	35	17	72	70	80	15	45	31	82	23	74
18	74	35	09	98	17	77	40	27	72	14	43	23	60	02	10
19	69	91	62	68	03	66	25	22	91	48	36	93	68	72	03
20	09	89	32	05	05	14	22	56	85	14	46	42	75	67	88

−1,75	−0,33	−1,26	0,32	1,53	0,35	−0,96	−0,06	0,42	−1,08
−0,29	0,09	1,70	−1,09	−0,44	−0,29	0,25	−0,54	−1,38	0,32
−0,93	0,13	0,63	0,90	1,41	−0,88	−0,10	0,23	0,13	0,37
−0,45	−0,24	0,07	1,03	1,73	−0,06	−1,49	−0,08	−2,36	−0,99
0,51	−0,88	0,49	−1,30	−0,27	0,76	−0,36	0,19	−1,08	0,53

T1: фрагменты таблиц случайных чисел — равномерно распределённые двузначные числа 00–99 и нормально распределённые N(0, 1) с двумя знаками. По ним в книге моделируются выборки (например, в примере 2 гл. 24 разбиение на подгруппы начинается с чисел 10, 09, 73, 25 первой строки и 37, 54 второй). Кнопка «Новая таблица» заполняет ту же сетку датчиком createRng — так делают сейчас вместо печатных таблиц (гл. 2).

T2. Нормальный закон

Таблица хвоста $1 - \Phi(x)$ стандартного нормального закона. Строка — целые и десятые $x$ , столбец — сотые. Для двустороннего уровня хвост удваивается: $\mathsf P(|Z| \ge x) = 2(1 - \Phi(x))$ .

Ходовые квантили, которые полезно помнить наизусть:

$p$	0,90	0,95	0,975	0,99	0,995	0,999
$x_p$	1,282	1,645	1,960	2,326	2,576	3,090

1 − Φ(1,96) = 0,0250; двусторонний 0,0500

x	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0,0	0,500	0,496	0,492	0,488	0,484	0,480	0,476	0,472	0,468	0,464
0,1	0,460	0,456	0,452	0,448	0,444	0,440	0,436	0,433	0,429	0,425
0,2	0,421	0,417	0,413	0,409	0,405	0,401	0,397	0,394	0,390	0,386
0,3	0,382	0,378	0,374	0,371	0,367	0,363	0,359	0,356	0,352	0,348
0,4	0,345	0,341	0,337	0,334	0,330	0,326	0,323	0,319	0,316	0,312
0,5	0,309	0,305	0,302	0,298	0,295	0,291	0,288	0,284	0,281	0,278
0,6	0,274	0,271	0,268	0,264	0,261	0,258	0,255	0,251	0,248	0,245
0,7	0,242	0,239	0,236	0,233	0,230	0,227	0,224	0,221	0,218	0,215
0,8	0,212	0,209	0,206	0,203	0,200	0,198	0,195	0,192	0,189	0,187
0,9	0,184	0,181	0,179	0,176	0,174	0,171	0,169	0,166	0,164	0,161
1,0	0,159	0,156	0,154	0,152	0,149	0,147	0,145	0,142	0,140	0,138
1,1	0,136	0,133	0,131	0,129	0,127	0,125	0,123	0,121	0,119	0,117
1,2	0,115	0,113	0,111	0,109	0,107	0,106	0,104	0,102	0,100	0,099
1,3	0,097	0,095	0,093	0,092	0,090	0,089	0,087	0,085	0,084	0,082
1,4	0,081	0,079	0,078	0,076	0,075	0,074	0,072	0,071	0,069	0,068
1,5	0,067	0,066	0,064	0,063	0,062	0,061	0,059	0,058	0,057	0,056
1,6	0,055	0,054	0,053	0,052	0,051	0,049	0,048	0,047	0,046	0,046
1,7	0,045	0,044	0,043	0,042	0,041	0,040	0,039	0,038	0,038	0,037
1,8	0,036	0,035	0,034	0,034	0,033	0,032	0,031	0,031	0,030	0,029
1,9	0,029	0,028	0,027	0,027	0,026	0,026	0,025	0,024	0,024	0,023
2,0	0,023	0,022	0,022	0,021	0,021	0,020	0,020	0,019	0,019	0,018
2,1	0,018	0,017	0,017	0,017	0,016	0,016	0,015	0,015	0,015	0,014
2,2	0,014	0,014	0,013	0,013	0,013	0,012	0,012	0,012	0,011	0,011
2,3	0,011	0,010	0,010	0,010	0,010	0,009	0,009	0,009	0,009	0,008
2,4	0,008	0,008	0,008	0,008	0,007	0,007	0,007	0,007	0,007	0,006
2,5	0,006	0,006	0,006	0,006	0,006	0,005	0,005	0,005	0,005	0,005
2,6	0,005	0,005	0,004	0,004	0,004	0,004	0,004	0,004	0,004	0,004
2,7	0,003	0,003	0,003	0,003	0,003	0,003	0,003	0,003	0,003	0,003
2,8	0,003	0,002	0,002	0,002	0,002	0,002	0,002	0,002	0,002	0,002
2,9	0,002	0,002	0,002	0,002	0,002	0,002	0,002	0,001	0,001	0,001
3,0	0,001	0,001	0,001	0,001	0,001	0,001	0,001	0,001	0,001	0,001

T2: y = 1 − Φ(x) — вероятность верхнего «хвоста» стандартного нормального закона. Строка — целые и десятые x, столбец — сотые. Двусторонний уровень вдвое больше: P(|Z| ≥ x) = 2(1 − Φ(x)). Обратная задача — квантиль x_p = Φ⁻¹(p): x₀,₉₅ = 1,645, x₀,₉₇₅ = 1,960, x₀,₉₉₅ = 2,576. Ползунок даёт хвост для любого x, в том числе далеко за краем книжной таблицы.

Смысл по-пацански: 1,96 — это «два сигма» для тех, кто любит точность. Вылезла нормированная статистика за 1,96 по модулю — на уровне 5 % гипотеза идёт лесом.

T3. Распределение хи-квадрат

Квантили $y_p$ закона $\chi^2_k$ с $k$ степенями свободы: $\mathsf P(\chi^2_k \le y_p) = p$ . Нужны в критерии хи-квадрат (гл. 18), в доверительных интервалах для дисперсии (гл. 11), в критериях Фридмана и Краскела — Уоллиса при больших выборках (гл. 16, 17).

При больших $k$ хорошо работает приближение Уилсона — Хилферти: $y_p \approx k\bigl(1 - \frac2{9k} + x_p\sqrt{\frac2{9k}}\bigr)^3$ , где $x_p$ — нормальный квантиль из T2.

k = 10, p = 0,950: y_p = 18,307

k	0,900	0,950	0,975	0,990	0,995	0,999
1	2,71	3,84	5,02	6,63	7,88	10,83
2	4,61	5,99	7,38	9,21	10,60	13,82
3	6,25	7,81	9,35	11,34	12,84	16,27
4	7,78	9,49	11,14	13,28	14,86	18,47
5	9,24	11,07	12,83	15,09	16,75	20,52
6	10,64	12,59	14,45	16,81	18,55	22,46
7	12,02	14,07	16,01	18,48	20,28	24,32
8	13,36	15,51	17,53	20,09	21,95	26,12
9	14,68	16,92	19,02	21,67	23,59	27,88
10	15,99	18,31	20,48	23,21	25,19	29,59
12	18,55	21,03	23,34	26,22	28,30	32,91
15	22,31	25,00	27,49	30,58	32,80	37,70
20	28,41	31,41	34,17	37,57	40,00	45,31
25	34,38	37,65	40,65	44,31	46,93	52,62
30	40,26	43,77	46,98	50,89	53,67	59,70
40	51,8	55,8	59,3	63,7	66,8	73,4
60	74,4	79,1	83,3	88,4	92,0	99,6
120	140,2	146,6	152,2	159,0	163,6	173,6

T4. Распределение Стьюдента

Квантили $t$ -распределения с $k$ степенями свободы. Закон симметричен, поэтому $y_{1-p} = -y_p$ . Нужны в доверительных интервалах для среднего нормальной выборки (гл. 11), в двухвыборочном критерии Стьюдента (гл. 14), в регрессии (гл. 21). При $k \to \infty$ квантили сходятся к нормальным из T2; уже при $k = 30$ разница с 1,960 — меньше 0,09.

k = 10, p = 0,950: y_p = 1,812

k	0,900	0,950	0,975	0,990	0,995	0,999
1	3,08	6,31	12,71	31,82	63,66	318,31
2	1,89	2,92	4,30	6,96	9,92	22,33
3	1,64	2,35	3,18	4,54	5,84	10,21
4	1,53	2,13	2,78	3,75	4,60	7,17
5	1,48	2,02	2,57	3,36	4,03	5,89
6	1,44	1,94	2,45	3,14	3,71	5,21
7	1,41	1,89	2,36	3,00	3,50	4,79
8	1,40	1,86	2,31	2,90	3,36	4,50
9	1,38	1,83	2,26	2,82	3,25	4,30
10	1,37	1,81	2,23	2,76	3,17	4,14
12	1,36	1,78	2,18	2,68	3,05	3,93
15	1,34	1,75	2,13	2,60	2,95	3,73
20	1,33	1,72	2,09	2,53	2,85	3,55
25	1,32	1,71	2,06	2,49	2,79	3,45
30	1,31	1,70	2,04	2,46	2,75	3,39
40	1,30	1,68	2,02	2,42	2,70	3,31
60	1,30	1,67	2,00	2,39	2,66	3,23
120	1,29	1,66	1,98	2,36	2,62	3,16

p-квантиль y_p: P(ξ ≤ y_p) = p. Распределение Стьюдента симметрично: y₁₋ₚ = −y_p; двусторонний интервал уровня 0,95 берёт y₀,₉₇₅. При k → ∞ квантили стремятся к нормальным (1,645; 1,960; 2,326; 2,576). В отличие от книжной таблицы, здесь годятся любые p и k: квантиль считается обращением функции распределения.

Смысл по-пацански: Стьюдент — это нормальный закон для тех, кто не знает дисперсию и честно в этом признаётся. Плата за незнание — хвосты потолще, а интервалы пошире. Чем больше данных, тем меньше плата.

T5. Распределение Фишера — Снедекора

Квантили $F$ -распределения с $k_1$ степенями свободы числителя и $k_2$ — знаменателя. Нижние квантили получаются из верхних: $v_{1-p}(k_1, k_2) = 1/v_p(k_2, k_1)$ . Нужны в сравнении дисперсий (гл. 24), в дисперсионном анализе (гл. 16, 17) и в общей линейной гипотезе (гл. 21).

k₁ = 10, k₂ = 20, p = 0,950: y_p = 2,348

k₁	0,900	0,950	0,975	0,990	0,995	0,999
1	2,97	4,35	5,87	8,10	9,94	14,82
2	2,59	3,49	4,46	5,85	6,99	9,95
3	2,38	3,10	3,86	4,94	5,82	8,10
4	2,25	2,87	3,51	4,43	5,17	7,10
5	2,16	2,71	3,29	4,10	4,76	6,46
6	2,09	2,60	3,13	3,87	4,47	6,02
7	2,04	2,51	3,01	3,70	4,26	5,69
8	2,00	2,45	2,91	3,56	4,09	5,44
9	1,96	2,39	2,84	3,46	3,96	5,24
10	1,94	2,35	2,77	3,37	3,85	5,08
12	1,89	2,28	2,68	3,23	3,68	4,82
15	1,84	2,20	2,57	3,09	3,50	4,56
20	1,79	2,12	2,46	2,94	3,32	4,29
25	1,76	2,07	2,40	2,84	3,20	4,12
30	1,74	2,04	2,35	2,78	3,12	4,00
40	1,71	1,99	2,29	2,69	3,02	3,86
60	1,68	1,95	2,22	2,61	2,92	3,70
120	1,64	1,90	2,16	2,52	2,81	3,54

T7. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена

Односторонние критические значения $r_p$ : $\mathsf P(\rho_S \ge r_p) = p$ при гипотезе независимости, $k$ — размер выборки (гл. 20). Для $k \le 9$ виджет пересчитывает таблицу точным перебором всех $k!$ перестановок и подсвечивает расхождения с книгой: их ровно два, и оба — пустые клетки, где уровень на самом деле достижим.

p	0,100	0,050	0,025	0,010	0,005	0,001
книга, k = 8	0,524	0,643	0,738	0,833	0,881	0,952
перебор	0,524	0,643	0,738	0,833	0,881	0,952

T7: односторонние критические значения r_p коэффициента Спирмена: P(ρ_S ≥ r_p) = p при независимости, k — размер выборки. Двусторонний уровень — 2p (закон ρ_S симметричен). Пустая клетка — уровень недостижим при таком k. Для k ≤ 9 снизу — проверка точным перебором всех k! перестановок (функция из гл. 20): совпадает с книгой, только в двух клетках книга пустая, хотя уровень достижим — при k = 4, p = 0,05 и при k = 5, p = 0,01 (P(ρ_S = 1) = 1/24 ≈ 0,042 и 1/120 ≈ 0,008); они выделены цветом. В тексте §7 гл. 20 эта таблица названа T6 — в книге она под номером 7, а таблицы 6 нет.

Замечание. В тексте §7 гл. 20 книги эта таблица названа «T6», но в приложении она идёт под номером 7, а таблицы 6 нет вовсе.

Таблица в одну строчку

Всё, что выше, считается без всяких библиотек: функция распределения — интеграл от плотности, квантиль — обращение функции распределения делением отрезка пополам.

Загрузка редактора…

Таблицы

T1. Случайные числа

Таблица 1. Случайные числа

T2. Нормальный закон

Таблица 2. Хвост нормального закона

Проверка

T3. Распределение хи-квадрат

Таблица 3. Квантили χ² с k степенями свободы

Проверка

T4. Распределение Стьюдента

Таблица 4. Квантили распределения Стьюдента

T5. Распределение Фишера — Снедекора

Таблица 5. Квантили распределения Фишера — Снедекора

T7. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена

Таблица 7. Критические значения коэффициента Спирмена

Таблица в одну строчку

Проверь себя

Тест

Тест

Тест

1	10	09	73	25	33	76	52	01	35	86	34	67	35	48	76
2	37	54	20	48	05	64	89	47	42	96	24	80	52	40	37
3	08	42	26	89	53	19	64	50	93	03	23	20	90	25	60
4	99	01	90	25	29	09	37	67	07	15	38	31	13	11	65
5	12	80	79	99	70	80	15	73	61	47	64	03	23	66	53
6	66	06	57	47	17	34	07	27	68	50	36	69	73	61	70
7	31	06	01	08	05	45	57	18	24	06	35	30	34	26	14
8	85	26	97	76	02	02	05	16	56	92	68	66	57	48	18
9	63	57	33	21	35	05	32	54	70	48	90	55	35	75	48
10	73	79	64	57	53	03	52	96	47	78	35	80	83	42	82
11	98	52	01	77	67	14	90	56	86	07	22	10	94	05	58
12	11	80	50	54	31	39	80	82	77	32	50	72	56	82	48
13	83	45	29	96	34	06	28	89	80	83	13	74	67	00	78
14	88	68	54	02	00	86	50	75	84	01	36	76	66	79	51
15	99	59	46	73	48	87	51	76	49	69	91	82	60	89	28
16	65	48	11	76	74	17	46	85	09	50	58	04	77	69	74
17	80	12	43	56	35	17	72	70	80	15	45	31	82	23	74
18	74	35	09	98	17	77	40	27	72	14	43	23	60	02	10
19	69	91	62	68	03	66	25	22	91	48	36	93	68	72	03
20	09	89	32	05	05	14	22	56	85	14	46	42	75	67	88

1	10	09	73	25	33	76	52	01	35	86	34	67	35	48	76
2	37	54	20	48	05	64	89	47	42	96	24	80	52	40	37
3	08	42	26	89	53	19	64	50	93	03	23	20	90	25	60
4	99	01	90	25	29	09	37	67	07	15	38	31	13	11	65
5	12	80	79	99	70	80	15	73	61	47	64	03	23	66	53
6	66	06	57	47	17	34	07	27	68	50	36	69	73	61	70
7	31	06	01	08	05	45	57	18	24	06	35	30	34	26	14
8	85	26	97	76	02	02	05	16	56	92	68	66	57	48	18
9	63	57	33	21	35	05	32	54	70	48	90	55	35	75	48
10	73	79	64	57	53	03	52	96	47	78	35	80	83	42	82
11	98	52	01	77	67	14	90	56	86	07	22	10	94	05	58
12	11	80	50	54	31	39	80	82	77	32	50	72	56	82	48
13	83	45	29	96	34	06	28	89	80	83	13	74	67	00	78
14	88	68	54	02	00	86	50	75	84	01	36	76	66	79	51
15	99	59	46	73	48	87	51	76	49	69	91	82	60	89	28
16	65	48	11	76	74	17	46	85	09	50	58	04	77	69	74
17	80	12	43	56	35	17	72	70	80	15	45	31	82	23	74
18	74	35	09	98	17	77	40	27	72	14	43	23	60	02	10
19	69	91	62	68	03	66	25	22	91	48	36	93	68	72	03
20	09	89	32	05	05	14	22	56	85	14	46	42	75	67	88

1	10	09	73	25	33	76	52	01	35	86	34	67	35	48	76
2	37	54	20	48	05	64	89	47	42	96	24	80	52	40	37
3	08	42	26	89	53	19	64	50	93	03	23	20	90	25	60
4	99	01	90	25	29	09	37	67	07	15	38	31	13	11	65
5	12	80	79	99	70	80	15	73	61	47	64	03	23	66	53
6	66	06	57	47	17	34	07	27	68	50	36	69	73	61	70
7	31	06	01	08	05	45	57	18	24	06	35	30	34	26	14
8	85	26	97	76	02	02	05	16	56	92	68	66	57	48	18
9	63	57	33	21	35	05	32	54	70	48	90	55	35	75	48
10	73	79	64	57	53	03	52	96	47	78	35	80	83	42	82
11	98	52	01	77	67	14	90	56	86	07	22	10	94	05	58
12	11	80	50	54	31	39	80	82	77	32	50	72	56	82	48
13	83	45	29	96	34	06	28	89	80	83	13	74	67	00	78
14	88	68	54	02	00	86	50	75	84	01	36	76	66	79	51
15	99	59	46	73	48	87	51	76	49	69	91	82	60	89	28
16	65	48	11	76	74	17	46	85	09	50	58	04	77	69	74
17	80	12	43	56	35	17	72	70	80	15	45	31	82	23	74
18	74	35	09	98	17	77	40	27	72	14	43	23	60	02	10
19	69	91	62	68	03	66	25	22	91	48	36	93	68	72	03
20	09	89	32	05	05	14	22	56	85	14	46	42	75	67	88