§5. Эксперимент «Неудачи»: когда среднее равно бесконечности

Помнишь, в §2 мы сказали: даже честная таблица случайных чисел при кривом использовании приводит к неверным выводам. Вот обещанная история, где симуляция нагло врёт в лицо — и где у честной случайной величины среднее оказывается бесконечным. Держись, тут мозг слегка закипает.

Задача

Влип ты в неудачу. Пусть $X_0$ — её размер: сколько проторчал в очереди, какой штраф влепили, сколько бабок потерял — неважно, просто число, и чем хуже, тем больше. Твои знакомые по очереди проходят через ту же передрягу, их размеры неудач — $X_1, X_2, \dots$

Вопрос: сколько знакомых в среднем придётся опросить, пока не попадётся бедолага, которому досталось не меньше твоего (то есть $X_n \ge X_0$)? Ищешь товарища по несчастью, чтоб хоть не так обидно было.

Формализуем. Считаем $X_0, X_1, \dots$ независимыми, с одной и той же непрерывной функцией распределения. Вводим случайную величину

— номер первого знакомого, догнавшего твою неудачу. Чему равно $\mathbf{M}N$ — сколько их в среднем?

Хорошая новость: ответ не зависит от того, какое именно непрерывное распределение у неудач. Поэтому без потери общности считаем $X_n$ равномерными на $[0,1]$ (самый удобный расклад).

Теория: ответ — бесконечность

Считаем честно. Сначала найдём $\mathbf{P}(N > n)$ — вероятность, что первые $n$ знакомых не дотянули до твоей неудачи (все $X_1, \dots, X_n$ меньше $X_0$). Это ровно значит, что твоя неудача $X_0$ — самая жирная среди всех $n+1$ чисел $X_0, X_1, \dots, X_n$.

А вот ключевой трюк. Все $n+1$ величин равноправны (одинаково распределены, независимы). Значит, «самым большим» с равными шансами может оказаться любой из них — хоть твой $X_0$, хоть любой знакомый. Претендентов $n+1$, шанс у каждого одинаковый, поэтому:

(Непрерывность тут нужна, чтобы два числа не совпали в точности — у непрерывной величины шанс точного равенства нулевой, мы это доказывали в задачах главы 1.)

Теперь собираем матожидание. Для целой неотрицательной величины есть формула (3) из главы 1: $\mathbf{M}N = \sum_{n=0}^{\infty} \mathbf{P}(N > n)$. Подставляем:

Это гармонический ряд, и он расходится — сумма растёт без предела. Разберём, почему это не глюк: слагаемые $\tfrac1n$ убывают, но слишком лениво, и их бесконечно много — в сумме набегает бесконечность. По-нашему: почти всегда товарищ по несчастью найдётся быстро, за пару-тройку человек. Но если тебе досталась неудача, близкая к максимальной ($X_0$ под самую завязку), ждать догоняющего придётся очень долго — и вот эти редкие, но чудовищно долгие ожидания перевешивают всё и тянут среднее в бесконечность.

Парадокс: а симуляция даёт конечное

Теперь самое весёлое. Попробуй прогнать этот опыт на компьютере (или по таблице) — и ты получишь конечное, да ещё и скромное число. Прогони 10 опытов — выйдет где-то $2$–$3$. Жми Run:

Среднее около $2$–$3$, а теория кричала «бесконечность». Кто врёт? Никто — просто симуляция незаметно подменяет условие. Две причины:

1. Округление убивает бесконечность. Как только числа округляются (в таблице — до двух знаков, в компьютере — до конечной точности), непрерывная модель превращается в дискретную. А там сумма обрывается: при округлении до двух знаков

где $\gamma \approx 0{,}577$ — постоянная Эйлера. Бесконечный ряд обрезали на сотом слагаемом — вот и вышло конечное $\approx 5{,}2$. В общем виде при округлении до $k$ знаков получается $\mathbf{M}\tilde N \approx k\ln 10 + \gamma$. 2. Малая выборка не ловит редкие катастрофы. Чтобы среднее поползло вверх, нужны те самые редкие случаи $X_0$ почти в единицу, когда ждать приходится сотни шагов. На десятке опытов они просто не выпадают, и ты видишь обманчиво маленькое среднее.

Покрути сам. Переключай точность: на «2 знака» бегущее среднее честно садится около $5{,}2$ (теория подрезанного ряда), а на «непрерывно» оно лезет вверх рывками и никак не садится — его постоянно подбрасывают редкие огромные значения. Это и есть расходимость вживую:

Мораль: случайность как береговая линия

Заметь дикую вещь: ответ зависит от точности, с которой ты записываешь числа. Чем больше знаков после запятой — тем больше среднее ($k\ln10+\gamma$ растёт с $k$). У честной непрерывной модели предела нет вовсе.

Лагутин приводит красивую аналогию — длина береговой линии. Меряешь грубо, по карте — выходит одно; меряешь мельче, обходя каждый камень и залив — длина растёт; меряешь ещё мельче — растёт ещё. У изрезанного берега «истинной» длины просто нет, она зависит от масштаба. Таблица случайных чисел в этом смысле сродни фракталу — объекту, у которого сколь угодно малые куски устроены так же сложно, как целое.

Вывод для нашего ремесла жёсткий: слепо доверять симуляции нельзя. Иногда компьютер отвечает уверенно и аккуратно — и мимо кассы. Надо понимать, какую модель ты на самом деле считаешь.

Проверь себя