Глава 9. Задачи с разборами

Вычисли информацию Фишера $I_1(\theta)$ для случайной величины $X_1$, имеющей распределение Бернулли с неизвестной вероятностью «успеха» $\theta$.

Указание. Вырази $U_1 = \frac{\partial}{\partial\theta}\ln f(X_1, \theta)$ через $X_1$.

Пусть $X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$. Найди ОМП $\tilde\mu$ и $\tilde\sigma$. Почему найденное решение — это точка максимума функции правдоподобия, а не, скажем, седловая точка?

Случайные величины $X_i$ имеют функцию распределения $F\!\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)$, где $F(x) = (1 - e^{-x})I_{\{x \ge 0\}}$ — модель сдвига-масштаба показательного закона. Найди ОМП параметров $\mu$ и $\sigma$.

Указание. Учти, что плотность разрывна в точке $\mu$.

Для равномерного распределения на отрезке $[\mu_1, \mu_2]$ вычисли:

а) ОМП,

б) оценки по методу спейсингов.

Случайные величины $X_i$ имеют плотность $p(x, \theta) = \tfrac12 e^{-|x - \theta|}$ (сдвиг закона Лапласа). Как устроено множество, на котором функция правдоподобия максимальна, для

а) чётного,

б) нечётного размера выборки?

Указание. Сравни с задачей 4 главы 7.

Для логнормальной модели с плотностью

найди оценки параметров $\mu$ и $\sigma$ по методу моментов.

Для выборки из закона $N(\theta, 1)$ рассмотрим оценку

где $|b| < 1$, $0 < a_n \to 0$, но $a_n\sqrt n \to \infty$ при $n \to \infty$. Вычисли асимптотическую дисперсию этой оценки.

С помощью метода Лагранжа проверь, что максимум функции $\prod_{i=1}^{n+1} D_i$ при условиях $\sum_{i=1}^{n+1} D_i = 1$, $0 \le D_i \le 1$, достигается, когда $D_1 = \dots = D_{n+1} = \dfrac{1}{n+1}$.