§3. R-оценки

Так называемые $R$-оценки ведут своё происхождение от ранговых критериев для проверки гипотез о значении параметра сдвига $\theta$ (см. гл. 14, 15).

Пусть $X_{(1)} < \dots < X_{(n)}$ обозначают упорядоченные наблюдения, $d_1, \dots, d_n$ — набор неотрицательных чисел. Рассмотрим $n(n+1)/2$ полусумм вида $(X_{(j)} + X_{(k)})/2$ при $1 \le j \le k \le n$ (при $j = k$ это просто сами порядковые статистики $X_{(j)}$). Каждой такой полусумме припишем вес

Легко проверить (убедитесь!), что в сумме эти веса дают 1. Рассмотрим дискретное распределение, присваивающее вероятности $w_{jk}$ значениям $(X_{(j)} + X_{(k)})/2$. По определению, $R$-оценка $R_n$ есть медиана этого распределения.

По кирпичикам (убеждаемся): вес зависит только от разности $r = k - j$, $r = 0, 1, \dots, n - 1$. Пар $(j, k)$ с данной разностью $r$ ровно $n - r$ (от $(1, 1 + r)$ до $(n - r, n)$). Значит, $\sum_{j\le k}d_{n-(k-j)} = \sum_{r=0}^{n-1}(n - r)d_{n-r} = \sum_{i=1}^nid_i$ (подстановка $i = n - r$). Делим на тот же знаменатель — выходит 1.

Отметим аналогию с $L$-оценками $L_n = \sum w_iX_{(i)}$, у которых веса $w_i \ge 0$, $\sum w_i = 1$. В этом случае $L_n$ есть математическое ожидание распределения, приписывающего вероятности $w_i$ значениям $X_{(i)}$. А $R$-оценка — медиана распределения полусумм.

Смысл по-пацански: составляем все пары пацанов (и каждого самого с собой), для каждой пары ставим точку посередине между ними. Каждой такой «середине» даём голос, зависящий только от того, насколько далеко друг от друга стоят пацаны в строю. Потом ищем «серединного» по голосам — это и есть $R$-оценка.

Пример 4. Знакомые оценки — тоже R-оценки

Пусть $d_1 = \dots = d_{n-1} = 0$, $d_n = 1$. Тогда $\sum id_i = n$, $w_{jk} = 1/n$ при $j = k$ и равны нулю в противном случае. Дискретное распределение, по которому строится $R$-оценка, приписывает вероятность $1/n$ каждому из $X_{(1)}, \dots, X_{(n)}$, т. е. $R_n$ — это просто выборочная медиана наблюдений.

Возьмём, наоборот, $d_1 = 1$, $d_2 = \dots = d_n = 0$. Тогда веса $w_{jk}$ положительны, лишь когда $k - j = n - 1$, т. е. когда $j = 1$ и $k = n$. Таким образом, полусумме $(X_{(1)} + X_{(n)})/2$ присваивается вероятность 1, и $R_n$ представляет собой середину размаха выборки.

Когда $d_1 = \dots = d_n = 1$, все величины $(X_{(j)} + X_{(k)})/2$ имеют одинаковый вес. Медиана $R_n$ этих полусумм появилась в §3 гл. 8 под названием медианы средних Уолша $W$.

Напротив, оценка Гальтона, определённая в задаче 3 гл. 8 как

(здесь $[\cdot]$ обозначает целую часть числа), не входит в число $R$-оценок. Дело в том, что полусуммам вида $(X_{(i)} + X_{(n-i+1)})/2$ приписаны равные веса, а всем остальным — нулевые, но согласно (17) полусуммы, находящиеся на одной диагонали $k - j = \text{const}$ (рис. 4 у Лагутина), должны иметь одинаковый вес.

По кирпичикам: полусуммы Гальтона лежат на антидиагонали $j + k = n + 1$ треугольника, а у $R$-оценок вес постоянен вдоль диагоналей $k - j = \text{const}$. Антидиагональ пересекает все диагонали с разными $k - j$ — по одной клетке из каждой, а остальные клетки этих диагоналей получают вес 0. Так нельзя.

Асимптотика и оптимальность

Для того чтобы получить асимптотическое распределение для $R_n$, зададим $d_i = d_{in}$ с помощью функции $K(t)$, определённой на $(0, 1)$, неубывающей и удовлетворяющей соотношению $K(1 - t) = -K(t)$ (т. е. график $K(t)$ центрально симметричен относительно точки плоскости с координатами $(\frac12, 0)$), полагая

Для модели сдвига $X_i \sim F(x - \theta)$, где распределение $F$ предполагается симметричным с (чётной) плотностью $p(x)$, при некоторых условиях регулярности на $K$ и $F$ имеет место сходимость

Как и в случае $L$-оценок и $M$-оценок, для заданной функции распределения $F$ существует асимптотически эффективная $R$-оценка. Она соответствует функции

По кирпичикам: для медианы Уолша $K(t) = 2t - 1$, $K' = 2$, $\int_0^1(2t-1)^2dt = \frac13$, и $\sigma^2 = \frac13\big/\bigl(2\int p^2\bigr)^2 = 1\big/\bigl(12(\int p^2)^2\bigr)$ — та самая формула из гл. 8. Для нормального закона $\int\varphi^2 = 1/(2\sqrt\pi)$, отсюда $\sigma^2 = \pi/3 \approx 1{,}047$ и эффективность относительно $\overline X$ $3/\pi \approx 0{,}955$.

Пример 5. Оптимальные K для трёх законов

Для логистического распределения в примере 1 §1 было отмечено, что $\gamma(x) = 2F(x) - 1$, так что оптимальная функция $K(t) = 2t - 1$, и, значит, $d_{in} = 2/(2n + 1)$ для всех $i = 1, \dots, n$. Так как $R$-оценка в силу соотношения (17) не меняется, когда все $d_{in}$ умножаются на одну и ту же положительную константу, то получающаяся в результате асимптотически эффективная $R$-оценка есть медиана средних Уолша $W$. Согласно задаче 4 гл. 8 толерантность $\tau_W = 1 - \sqrt2/2 \approx 0{,}293$.

В случае закона Коши оптимальная $K(t) = -\sin(2\pi t)$.

Для стандартного нормального закона $\gamma(x) = x$ и, следовательно, $K(t) = \Phi^{-1}(t)$, где $\Phi^{-1}$ — обратная к функции распределения закона $\mathcal N(0, 1)$. Соответствующая ей $R$-оценка называется оценкой с нормальными весами (или метками) и обозначается через $N$.

По кирпичикам — проверим Коши: $\gamma(x) = 2x/(1 + x^2)$, $F^{-1}(t) = \operatorname{tg}(\pi(t - \frac12)) = -\operatorname{ctg}(\pi t)$. При $x = \operatorname{tg}u$: $2x/(1 + x^2) = \sin 2u$, а $2u = 2\pi t - \pi$, так что $\gamma(F^{-1}(t)) = \sin(2\pi t - \pi) = -\sin(2\pi t)$.

Оценка $N$ из примера 5 интересна тем, что на классе $\Omega_s$ гладких симметричных распределений (см. определение в §1 гл. 8) она доминирует по эффективности над оценкой $\overline X$.

Теорема 3. Если $X_i$ имеют функцию распределения $F(x - \theta)$, то

где неравенство строгое, за исключением случая $F = \Phi$.

Тем самым $N$ улучшает нижнюю границу медианы средних Уолша $W$: $e_{W,\overline X}(F) \ge 108/125 \approx 0{,}864$ для всех $F \in \Omega_s$, приведённую в теореме 4 гл. 8.

Толерантность оценки $N$ равна $\tau_N = 2\Phi(-\sqrt{\ln 4}) \approx 0{,}239$. Однако П. Хьюбер высказывает мнение, что оценку $N$ не следует рекомендовать для практического использования: показатели её количественной робастности очень быстро ухудшаются при отклонении от нормальной модели, и $N$ становится хуже, чем, например, оценка $W$. Быстрый рост этих показателей связан с неограниченностью $K(t) = \Phi^{-1}(t)$.

Смысл по-пацански: оценка $N$ — отличник на экзамене по нормальному закону и ни на одном гладком симметричном законе не хуже среднего. Но стоит подсунуть тяжёлые хвосты (Коши) — и отличник сыпется: дисперсия 4,65 при возможных 2. Медиана Уолша скромнее, зато не сыпется. Посмотри строку «Нормальные метки N» в таблице ниже.

Взаимосвязь M-, L- и R-оценок

В заключение отметим любопытную взаимосвязь между $M$-, $L$- и $R$-оценками. Для заданной $F \in \Omega_s$ и нечётной $\psi$ обозначим через $\lambda_\psi$ функцию, пропорциональную $\psi'(F^{-1}(t))$, и положим $K_\psi = \psi(F^{-1}(t))$. Тогда

Другими словами, для всякой $M$-оценки найдутся асимптотически эквивалентные $L$-оценка и $R$-оценка.

В частности, при $\psi = \gamma$ согласно примерам 1, 2 и 5 имеем:

Смысл по-пацански: три бригады, а результат один. Любую $M$-оценку можно переписать в $L$-форме (через веса по месту) или в $R$-форме (через полусуммы) — и в пределе получится та же точность.

К рассмотренной взаимосвязи имеет отношение следующий результат о применении к классу $L$-оценок минимаксного подхода Хьюбера (см. пример 3 §2). Сначала покажем, что $M$-оценке Хьюбера с $\psi = \psi_b$ (независимо от вида $F$) соответствует в классе $L$-оценок усечённое среднее $\overline X_\alpha$, где $\alpha = F(-b)$. Действительно, $\psi_b'(x) = I_{\{|x|<b\}}$. Тогда функция $\lambda_{\psi_b}$ пропорциональна

и равна нулю в противном случае. Так как неравенство $|F^{-1}(t)| < b$ эквивалентно неравенству $F(-b) < t < F(b)$, то $\lambda_{\psi_b}(t)$ постоянна на интервале $(\alpha, 1 - \alpha)$ и равна 0 вне этого интервала.

Отсюда ввиду (13) §2 возникает вопрос: не является ли $L$-оценка, минимизирующая для $G = \Phi$

усечённым средним $\overline X_\alpha$ с $\alpha = \Phi(-b)$, соответствующим оценке Хьюбера с константой $b$, определяемой по $\varepsilon$ из соотношения (14)? Л. Джекел в 1971 г. доказал, что это действительно так.

Проверь себя