Глава 2. Задачи с разборами

Попробуй придумать свой датчик случайных чисел. Важно не качество, а оригинальность идеи — откуда вытащить непредсказуемость.

Пусть $\eta_1, \eta_2, \dots$ независимы и равномерны на $[0,1]$. Введём

то есть $(K-1)$ — длина «нисходящей серии»: числа идут на убыль, пока очередное не окажется больше предыдущего и не оборвёт серию.

а) Смоделируй 20 значений $K$ (по таблице или кодом) и оцени $\mathbf{M}K$ средним. б) Найди $\mathbf{M}K$ теоретически. Указание: сначала вычисли $\mathbf{P}(K > n)$, потом примени формулу (3) главы 1.

То же для величины

где $\eta_i$ — независимые равномерные на $[0,1]$. То есть $L$ — сколько случайных чисел из $[0,1]$ надо сложить, чтобы сумма впервые перевалила за единицу. Найди $\mathbf{M}L$. Указание: для $\mathbf{P}(L>n)$ используй формулу свёртки.

Докажи формулу для среднего в дискретизованном эксперименте «Неудачи» из §5 — что $\mathbf{M}\tilde N = \sum_{n=1}^{100} \frac1n$ — с помощью условного матожидания. Здесь $\tilde X_0, \tilde X_1, \dots$ независимы и равномерны на $\{0;\ 0{,}01;\ \dots;\ 0{,}99\}$.

а) вычисли $\mathbf{M}(\tilde N \mid \tilde X_0 = x_0)$; б) найди $\mathbf{M}\tilde N$, усреднив по $x_0$.

Пусть случайная величина $M$ равномерно распределена на множестве $\{1, 2, \dots, n\}$: $\mathbf{P}(M = m) = 1/n$. Величина $J$ равна остатку от деления $n$ на $M$. Найди $\lim_{n\to\infty} \mathbf{P}(J \ge M/2)$.

На первый взгляд кажется, что при больших $n$ остаток $J$ размазан равномерно по $\{0, \dots, M-1\}$, и ответ должен быть $1/2$. Проверь эту догадку.