Глава 4. Задачи с разборами

Случайная величина $Z$ имеет плотность Коши $p_Z(x) = \dfrac{1}{\pi(1 + x^2)}$. Получи формулу для моделирования выборки из этого закона методом обратной функции.

Выясни, к какому закону «притягивается» а) максимум, б) минимум выборки из показательного распределения $F(x) = 1 - e^{-x}$, $x \ge 0$.

Указание: запиши функцию распределения минимума и подбери $a_n$ и $b_n$.

Докажи утверждение 3 из §3: для $\tau \sim \text{Exp}(1)$ целая часть $[\tau]$ и дробная $\{\tau\}$ независимы, $\mathbf{P}([\tau] = i) = q^i p$ при $p = 1 - e^{-1}$, $q = 1 - p$, а $\{\tau\}$ имеет функцию распределения $\tfrac1p(1 - e^{-x})$ на $[0,1]$.

Пусть $\Delta_{(1)} = \min\{\Delta_1, \dots, \Delta_{n+1}\}$, где $\Delta_k$ — $k$-й спейсинг выборки из $n$ равномерных на $[0,1]$ чисел (см. следствие в §4). Используя лемму 3, установи, что $n^2 \Delta_{(1)}$ при $n \to \infty$ сходится по распределению к показательному закону с $\lambda = 1$.

Для выборки $\tau_1, \dots, \tau_n$ из показательного закона с $\lambda = 1$:

а) убедись, что спейсинги $\tilde\Delta_i = \tau_{(i)} - \tau_{(i-1)}$, $i = 1, \dots, n$ (с $\tau_{(0)} = 0$) независимы; б) найди распределение минимального показательного спейсинга.

Докажи, что если $X$ и $Y$ — независимые $\mathcal{N}(0,1)$, то $Z = X/Y$ распределена по закону Коши.

Указание: примени формулу преобразования плотности при замене $(X, Y) \to (X/Y, Y)$.