§2. Распределения экстремальных значений: кто тут рекордсмен

Среднее — это про «обычный вечер». А часто важен рекорд: самый сильный паводок за век, самая большая нагрузка на мост, самый лютый убыток за год. Это максимум выборки, и живёт он по своим законам.

Закон максимума

Обозначим $X_{(n)} = \max\{X_1, \dots, X_n\}$ — самый большой из $n$ независимых одинаково распределённых $X_i$ с функцией распределения $F$. Найти закон максимума легко:

По кирпичикам: «максимум не больше $x$» ровно то же самое, что «все не больше $x$». А раз величины независимы, вероятность «все сразу» — это произведение отдельных вероятностей (первая глава, §3), то есть $F(x)$ в степени $n$.

Убойный пример: сверхтяжёлый хвост

Возьмём закон с функцией распределения

Спросим: с какой вероятностью максимум всего из четырёх чисел превысит десять миллионов? По формуле выше

Посчитаем на пальцах. $\ln 10^7 = 7 \ln 10 \approx 7 \cdot 2{,}3 = 16{,}1$. А для малых $\varepsilon$ работает приближение $(1 - \varepsilon)^n \approx 1 - n\varepsilon$. Подставляем:

Точный подсчёт даёт $0{,}226$. То есть почти в каждом четвёртом случае самое большое из четырёх чисел оказывается больше десяти миллионов! Для нормального закона такое событие практически невозможно (правило трёх сигм из главы 3). А тут — четверть.

Проверим кодом. Выборку штампуем методом обратной функции из §1: из $u = 1 - 1/\ln x$ получаем $x = e^{1/(1-u)}$. Само число может не влезть в компьютер, поэтому сравниваем логарифмы: $x > 10^7 \iff 1/(1-u) > \ln 10^7$.

Такой хвост называют сверхтяжёлым. Максимум тут с ростом $n$ улетает в бесконечность так быстро, что никаким линейным преобразованием — сдвинуть на $a_n$, поделить на $b_n$ — его не вернуть в приличную конечную область.

Три типа, и больше нет

А вот если для максимума всё-таки находится такой закон (с точностью до сдвига и масштаба), то он обязательно одного из трёх типов — это фундаментальный результат теории:

Какой тип выйдет — решает хвост исходного закона. Грубо:

• хвост тает как $e^{-x}$ (показательный, нормальный) — тип I, после сдвига $X_{(n)} - \ln n$;
• хвост степенной, как $x^{-\alpha}$ (тяжёлый, вроде закона Парето) — тип II, после деления $X_{(n)} / n^{1/\alpha}$;
• значения ограничены сверху, дальше некуда (как у равномерного) — тип III, после растяжения $n(X_{(n)} - c)$ у правого края $c$.

Точные условия для каждого типа сформулировал Б. В. Гнеденко в 1943 году. Покрути виджет: выбери тип, двигай размер выборки $n$ и смотри, как нормированный максимум садится на предельный закон:

Любопытный трюк: наш сверхтяжёлый пример можно спасти нелинейным преобразованием. Если взять логарифмы $\tilde X_i = \ln X_i$, их функция распределения станет $1 - 1/x$ при $x > 1$ — это обычный степенной хвост, и максимум $\tilde X_{(n)}/n$ сходится к закону второго типа. Логарифм сжимает прямую так сильно, что дальше хватает обычного линейного масштаба.

Минимум и принцип слабейшего звена

А что с минимумом? Тут всё зеркально: $\min\{X_1, \dots, X_n\} = -\max\{-X_1, \dots, -X_n\}$, поэтому предельные законы для минимума получаются из тех же трёх заменой $G(x) = 1 - F(-x)$.

Например, третьему типу соответствует закон $1 - \exp\{-x^{\alpha}\}$ при $x \ge 0$. В теории прочности материалов он известен как закон Вейбулла–Гнеденко, и за ним стоит принцип слабейшего звена: цепь рвётся по самому гнилому звену, значит её прочность — это минимум прочностей звеньев. При $\alpha = 1$ получается обычный показательный закон с $\lambda = 1$.

По-дворовому: бригада сильна ровно настолько, насколько силён самый слабый пацан в ней. На стрелке слабое звено сдаст всех — и закон этого «самого слабого» как раз Вейбулл.

Проверь себя