§4. Пример из теории игр: где тут развод

Финал главы — дворовая игра, в которой датчики случайных чисел превращаются в оружие.

Правила

Ты и соперник одновременно называете одну из двух цифр — «1» или «2», то есть выкидываете один или два пальца. Если сумма чётная, ты выигрываешь эту сумму, если нечётная — проигрываешь её. Платёжная матрица (сколько получаешь ты):

На вид всё честно: выигрыши $2 + 4 = 6$, проигрыши $3 + 3 = 6$. Стоит ли играть?

Почему нужна случайность

Если бы ты точно угадывал следующую цифру соперника, ты бы всегда выигрывал, называя такую же. Но и соперник может угадывать тебя и называть противоположную. Значит, любая предсказуемая игра проигрышна: оба должны выбирать цифры случайно, со своими вероятностями. Это называется смешанной стратегией.

Если оба кидают честную монетку (по $\tfrac12$), средний выигрыш

Такую игру называют игрой с нулевой суммой: в среднем никто не выигрывает. Казалось бы, честно.

Где спрятан развод

Пусть ты называешь «1» с вероятностью $p_1$, а соперник — с вероятностью $p_2$. Твой средний выигрыш за партию:

По кирпичикам: каждое слагаемое — платёж из матрицы, умноженный на шанс именно такой пары ответов (ответы независимы, поэтому шансы перемножаются).

Поверхность $z = Z(p_1, p_2)$ — седло (гиперболический параболоид). И у неё есть особое сечение. Подставим $p_2 = \tfrac{7}{12}$:

$p_1$ сократилось. Если соперник называет «1» с вероятностью $7/12 \approx 0{,}583$, а «2» — с вероятностью $5/12$, то ты в среднем проигрываешь $1/12$ за партию, что бы ни делал. Крути свою стратегию как хочешь — результат один. Игра, которая выглядела честной, выгодна тому, кто знает число $7/12$.

У Лагутина есть такой фокус: дана строка цифр соперника, и читателю предлагают угадывать следующую. Она получена из таблицы случайных чисел ровно по этой стратегии: число не больше 58 из 100 — «1», иначе «2». Угадать не получится, а проигрыш накапливается.

Медленно, но верно

Минус $1/12$ за партию — это очень мало, а разброс за одну партию большой. Сколько партий нужно сопернику, чтобы наверняка (с вероятностью 0,975) выиграть хотя бы 20? Наивно $12 \cdot 20 = 240$. На деле — около 5650: на коротких дистанциях случайный разброс перебивает слабый перекос. Расчёт — в задаче 5.

Покрути виджет. При $p_2 = 7/12$ двигай свою $p_1$: пунктир ожидаемого выигрыша не меняется, а сплошная линия счёта блуждает вокруг него и в итоге уходит вниз.

Проверим кодом, что твоя стратегия правда ничего не решает:

По-дворовому: напёрсточник не жульничает в каждой партии, он просто играет со смещением, которое незаметно на десятке раундов. Ты видишь, что то выигрываешь, то проигрываешь, и думаешь, что всё по-честному. А на длинной дистанции касса всегда у того, кто посчитал $7/12$.

Проверь себя