§6. Теоремы существования и компьютер: когда машина уверенно врёт

Последний параграф главы — короткий, но отрезвляющий. В §5 мы видели, как компьютер врёт из-за округления. Тут покажем ещё одну засаду: иногда алгоритм честно делает ровно то, что написано, выдаёт гладкую красивую картинку — и всё равно приводит не туда. Доверять машине на слово нельзя даже в, казалось бы, железной математике.

Задача Коши и метод Эйлера

Берём классику — задачу Коши: есть уравнение на функцию $y(x)$, заданное через её производную, плюс стартовая точка.

По-простому: нам говорят наклон кривой в каждой точке ($y' = f$) и откуда стартовать ($y_0$ при $x_0$). Надо восстановить саму кривую.

Самый прямолинейный способ сделать это на компьютере — метод Эйлера: топаем от старта маленькими шажками, каждый раз двигаясь по касательной.

Разбираем по кирпичикам:

• $h > 0$ — маленький шаг по оси $x$. Чем мельче, тем аккуратнее.
• $f(x_i, y_i)$ — наклон кривой в точке, где мы сейчас стоим.
• $h \cdot f(x_i, y_i)$ — на сколько подрастёт $y$, если пройти шажок $h$ по этой касательной.
• $y_{i+1} = y_i + \dots$ — делаем шаг: новое $y$ = старое плюс этот прирост.

Повторяй — и ломаная из касательных обрисует кривую. Идея честная: чем мельче шаг, тем ближе ломаная к настоящему решению. Обычно так и есть. Но не всегда.

Как Эйлер перепрыгивает на чужую кривую

Рассмотрим конкретный пример (из Лагутина): наклон задан как

Решить можно и руками. Из $y\,dy = -x\,dx$ выходит $x^2 + y^2 = \text{const}$ — это окружность. Подставляем старт $(-1;\ 0{,}21)$: $1 + 0{,}0441 = 1{,}0441$. Значит, истинное решение — верхняя полуокружность

А теперь подвох. Наклон $-x/y$ рвётся при $y = 0$ — там деление на ноль. И физически решение-полуокружность нельзя продолжить в нижнюю полуплоскость $y < 0$: окружность в точке $y = 0$ разворачивается вертикально. Но компьютер-то этого не знает. Когда ломаная Эйлера подходит к $y \approx 0$, наклон $-x/y$ взлетает до огромных значений, касательная встаёт почти вертикально — и очередной шаг перебрасывает $y$ в минус, на совершенно чужую интегральную кривую. Машина спокойно поехала дальше по ложному следу, не моргнув.

Покрути сам. Зелёная дуга — истинная полуокружность, красная ломаная — метод Эйлера. Двигай шаг $h$: мельче шаг — ломаная держится дуги точнее, но у линии $y = 0$ она всё равно срывается вниз. Разрыв правой части шагом не победить — хоть ты его дроби в пыль:

Мораль главы

Вот тебе и «теоремы существования». Решение существует и единственно — пока мы в области, где всё гладко ($y \ne 0$). Но стоит подойти к разрыву, и численный метод, формально работая правильно, уезжает на чужую кривую и выдаёт уверенную чушь.

Это перекликается со всей главой. Физический датчик честен, но медленный и неповторимый (§1). Таблица честна, но жрёт память и подводит на тонких задачах (§2, §5). Математический датчик быстр и воспроизводим, но может таить закономерность, как RANDU (§3), и по Колмогорову вообще не способен выдать «настоящую» случайность коротким кодом (§4). И вот финал: даже прямое численное решение уравнения врёт у разрыва (§6).

Общий закон простой: компьютер — мощный станок, но слепо верить ему нельзя. Понимай, где у твоего инструмента слепая зона, и проверяй результат головой. С этим и пойдём дальше — к задачам главы, где потренируемся ловить такие подвохи руками.

Проверь себя