§1. Однофакторная модель: что меняется от группы к группе

В этой главе критерий ранговых сумм Уилкоксона — Манна — Уитни из §5 главы 14 обобщается на случай, когда данные состоят из нескольких рядов наблюдений (обработок), которые рассматриваются как реализации независимых между собой выборок. Исходная гипотеза $H_0$ — различий в обработках нет, то есть все наблюдения можно считать одной выборкой из общей совокупности.

Данные

Данные состоят из $N = \sum_{j=1}^kn_j$ наблюдений $x_{ij}$: по $n_j$ наблюдений в $j$-й выборке (обработке), $j = 1, \dots, k$.

Будем считать их реализацией случайных величин

Здесь $\mu$ — неизвестное общее среднее, $\beta_j$ — неизвестный эффект воздействия фактора для $j$-й выборки, $\varepsilon_{ij}$ — случайная ошибка. Положим $\mu_j = \mu + \beta_j$.

По кирпичикам: каждое наблюдение — это «общий уровень» плюс «добавка от своей группы» плюс «случайный шум». Фактор — то, что различает группы: способ хранения, дозировка, режим обучения. Однофакторная — потому что фактор один.

Смысл по-пацански: пять бригад на заводе. У каждого рабочего своя выработка — это шум. Но, может, у какой-то бригады есть своя «добавка» — лучше станки, толковее бригадир. Модель (1) так и записывает: человек = завод + бригада + он сам.

Допущения

• Д1. Все ошибки $\varepsilon_{ij}$ независимы.
• Д2. Все $\varepsilon_{ij}$ имеют одинаковое непрерывное (неизвестное) распределение.

Нормальности не требуем — в этом сила ранговых методов.

Гипотеза

Для проверки гипотезы однородности

можно использовать критерий Краскела — Уоллиса (§2) или критерий Джонкхиера (§3). Первый ищет любые различия, второй — упорядоченные, когда эффект растёт от обработки к обработке.

Проверь себя