§1. Стратегия построения критериев

В этой главе одно- и двухвыборочные ранговые критерии из гл. 14 и гл. 15 обобщаются на многомерный случай (изложение у Лагутина в основном следует монографии Хеттманспергера). Если в многомерной модели участвуют $p$-мерные векторы, то нас будет интересовать некоторая векторная $p$-мерная статистика $\boldsymbol S = (S_1, \dots, S_p)$, у которой каждая компонента $S_j$ при нулевой гипотезе центрирована: $\mathsf MS_j = 0$, $j = 1, \dots, p$.

По кирпичикам: «центрирована» — значит, если гипотеза верна, каждая компонента в среднем равна нулю и только болтается вокруг нуля из-за случайности. Большое по модулю $S_j$ — улика против гипотезы. Вопрос лишь в том, как свести $p$ улик в одно число и понять, что такое «большое».

План

При построении критериев станем придерживаться следующего плана:

1. установим, что в случае справедливости нулевой гипотезы при $n \to \infty$ распределение статистики $n^{-1/2}\boldsymbol S$ стремится к $p$-мерному нормальному закону $\mathcal N(\boldsymbol 0, \boldsymbol V)$ с невырожденной матрицей ковариаций $\boldsymbol V$ (см. П9);
2. найдём состоятельную оценку $\hat{\boldsymbol V}$ для $\boldsymbol V$ (см. §2 гл. 6);
3. исходя из этого, видим, что статистика критерия

распределена в пределе по закону $\chi^2_p$ (см. П5, П9).

Смысл по-пацански: три шага, как у любого нормального дела. Первое — убедиться, что при честном раскладе статистика ведёт себя как «нормальный шум». Второе — выяснить по самим данным, насколько этот шум размашист и как координаты шумят вместе. Третье — сравнить, что видим, с этим шумом в правильных единицах. Если вышло больше, чем шум себе позволяет, — значит, не шум.

Почему именно $\chi^2_p$

По кирпичикам. Пусть $\boldsymbol Z \sim \mathcal N(\boldsymbol 0, \boldsymbol V)$ и $\boldsymbol V$ невырождена. Матрицу ковариаций можно «извлечь из-под корня»: найдётся матрица $\boldsymbol A$ с $\boldsymbol A\boldsymbol A^T = \boldsymbol V$ (например, разложение Холецкого из гл. 20). Тогда вектор $\boldsymbol U = \boldsymbol A^{-1}\boldsymbol Z$ имеет ковариацию $\boldsymbol A^{-1}\boldsymbol V(\boldsymbol A^{-1})^T = \boldsymbol I$, т. е. его компоненты — независимые стандартные нормальные величины. А

по определению закона хи-квадрат. Замена $\boldsymbol V$ на состоятельную оценку $\hat{\boldsymbol V}$ на предельный закон не влияет.

Смысл по-пацански: $\boldsymbol V^{-1}$ в середине — это «переводчик». Он раскручивает облако шума так, чтобы оно стало круглым и одинаковым по всем направлениям, — и только потом меряет расстояние от нуля. В круглом облаке квадрат расстояния — сумма $p$ квадратов независимых нормальных, а это и есть $\chi^2_p$.

Величина $\boldsymbol Z^T\boldsymbol V^{-1}\boldsymbol Z$ — квадрат расстояния Махаланобиса от точки $\boldsymbol Z$ до нуля (оно уже встречалось в гл. 19 при классификации).

А почему бы не сложить квадраты?

Наивная идея: сложить $S_1^2/\mathsf DS_1 + \dots + S_p^2/\mathsf DS_p$ и сравнить с $\chi^2_p$. Это верно, только если компоненты независимы. Когда признаки связаны (а верхнее и нижнее давление, конечно, связаны), такая сумма при верной гипотезе имеет другой закон, и уровень значимости «уплывает». Проверь сам:

По кирпичикам: при $\rho = 0{,}8$ точки шума вытянуты вдоль диагонали. Наивная сумма квадратов «не знает» об этом и считает точку на диагонали далёкой, хотя для такого облака она обычная, — и гипотеза отвергается чаще, чем обещано. Поставь rho = 0 — и оба способа совпадут.

Где это работает

Весь остальной текст главы — три применения одного плана:

В каждом случае меняется только «улика» $\boldsymbol S$ и формула для $\hat{\boldsymbol V}$, а сама схема — та же.

Смысл по-пацански: выучил один приём — получил три критерия. Это и есть та «наиболее полезная часть знаний», о которой говорит Кант в эпиграфе.

Посмотри, как ведут себя критерии при верной гипотезе: поставь сдвиг 0 — столбики должны быть около 5 %. Потом сдвинь — это уже мощность:

Проверь себя