Глава 3. Задачи с разборами

Сколько случайных точек надо бросить в единичный квадрат (как в §3, рис. 6), чтобы получить две верные цифры после запятой у числа $\pi$ с вероятностью $0{,}997$?

Используя разложение числа $e$ в ряд, докажи, что $x_n = \{e \cdot n!\} \to 0$ при $n \to \infty$ (здесь $\{\,\cdot\,\}$ — дробная часть).

С помощью неравенства Коши-Буняковского докажи неравенство (6) из §4:

Для датчика $x_n = \{\alpha n\}$ ($\alpha > 0$ иррационально) найди предел частоты попаданий пар $(x_{2i-1}, x_{2i})$ в подмножество единичного квадрата:

а) $y \le x$; б) $x + y \le 1$ (рис. 10). Указание: для $0 < \alpha < 1$ вырази $x_{n+1}$ через $x_n$.

Рассмотрим два числовых треугольника, выписанных по строкам:

а) $\tfrac12;\ \tfrac13, \tfrac23;\ \tfrac14, \tfrac24, \tfrac34;\ \dots$ (в $k$-й строке дроби со знаменателем $k+1$);

б) $\tfrac12;\ \tfrac14, \tfrac24, \tfrac34;\ \tfrac18, \dots, \tfrac78;\ \dots$ (знаменатели — степени двойки).

Будут ли эти последовательности равномерны по Вейлю, если читать их по строкам?