§4. Критерий Розенблатта: омега-квадрат для двух выборок

Статистика

Для проверки однородности против альтернативы неоднородности $H_1$ (§1) можно воспользоваться и критерием типа $\omega^2$ из §2 главы 12. Статистика

где $\hat H_{n+m}(x) = \frac n{n+m}\hat F_n(x) + \frac m{n+m}\hat G_m(x)$ — эмпирическая функция распределения объединённой выборки $(X_1, \dots, X_n, Y_1, \dots, Y_m)$.

По кирпичикам: Смирнов смотрит на самый большой зазор между лесенками, а омега-квадрат — на средний квадрат зазора по всем точкам объединённой выборки. Интеграл по $d\hat H_{n+m}$ — это просто среднее по $n + m$ точкам.

Статистика $\omega^2_{n,m}$ зависит лишь от порядковых номеров (рангов) выборочных элементов:

где $R_i$ — ранг $X_{(i)}$, а $S_j$ — ранг $Y_{(j)}$ в объединённом вариационном ряду (§4 главы 4).

Смысл по-пацански: $R_i - i$ — на сколько мест $i$-й по величине икс «уехал» вправо из-за того, что перед ним вклинились игреки. Если выборки перемешаны равномерно, уезжает понемногу. Если все игреки слева или справа — уезды огромные, и $\omega^2$ взлетает.

Проверим, что формула через ранги совпадает с определением:

Предельная теорема

Положим $Z = Z_{n,m} = \frac{nm}{n+m}\,\omega^2_{n,m}$. В 1952 году М. Розенблатт доказал, что при $H_0$ и допущениях Д1–Д5

где $A_1$ — тот же предельный закон, что встречался в §2 главы 12 для одновыборочного критерия Крамера — Мизеса. Его среднее и дисперсия равны $1/6$ и $1/45$, а для конечных $n$, $m$

Поэтому при вычислении приближённых критических значений вместо $Z$ рекомендуется использовать

У неё $\mathbf MZ^* = 1/6$ и $\mathbf DZ^* = 1/45$ точно, а сходимость $\mathbf P(Z^* \le x) \to A_1(x)$ следует из (3) и свойств сходимости (П5). Это обеспечивает удовлетворительную точность уже при $n, m \ge 7$.

Смысл по-пацански: подгоняем среднее и разброс статистики под предельный закон ещё до предела — тогда таблица работает почти сразу.

Мы проверили моделированием (20 000 повторений): квантили $Z^*$ уровней 0,90, 0,95 и 0,99 при $n = m = 7$ равны 0,358, 0,465 и 0,763, а у закона $A_1$ — 0,347, 0,461 и 0,743. Действительно, близко.

Где Розенблатт сильнее

Критерии Смирнова и Розенблатта реагируют на любое различие законов. Но омега-квадрат копит мелкие расхождения по всему ряду, поэтому часто оказывается чувствительнее. По нашему моделированию (10 000 повторений, нормальные выборки) при $n = m = 30$ на двустороннем уровне 5 %:

Против масштаба Уилкоксон, настроенный на сдвиг, почти слеп — его мощность равна уровню. Проверь сам:

Проверь себя