Глава 19. Задачи с разборами

Ну, между ими я, конечно, зауряд, немножко поотстал, ленив, подумать ужас!

— Репетилов в «Горе от ума» А. С. Грибоедова

Выводим формулу Ланса — Уильямса, разбираем матрицы рассеяния, обобщаем теорему Гюйгенса и считаем ошибки классификации в модели Фишера. Задачи 1, 2 и 4 у Лагутина отмечены как повышенной трудности. Сначала решай сам, разбор — потом.

Выведите формулу (4) Ланса и Уильямса для мер отдалённости иерархических процедур P3–P5 из §3.

Проверьте, что $\boldsymbol W_{tot} = \boldsymbol W_{int} + \boldsymbol W_{out}$ (см. формулу (7) в §5).

Получите тождество (10) из §5:

\sum_{i=1}^n(\boldsymbol x_i - \boldsymbol\mu)^T\boldsymbol\Sigma^{-1}(\boldsymbol x_i - \boldsymbol\mu) = n(\bar{\boldsymbol x} - \boldsymbol\mu)^T\boldsymbol\Sigma^{-1}(\bar{\boldsymbol x} - \boldsymbol\mu) + \sum_{i=1}^n(\boldsymbol x_i - \bar{\boldsymbol x})^T\boldsymbol\Sigma^{-1}(\boldsymbol x_i - \bar{\boldsymbol x}).

Указание. Введите вектор $\boldsymbol y = \boldsymbol\Sigma^{-1/2}(\boldsymbol x - \boldsymbol\mu)$ .

Пусть $p_1(\boldsymbol x)$ и $p_2(\boldsymbol x)$ — плотности законов $\mathcal N(\boldsymbol\mu_1, \boldsymbol\Sigma_1)$ и $\mathcal N(\boldsymbol\mu_2, \boldsymbol\Sigma_2)$ (см. замечание 7 в §5), причём $\boldsymbol\Sigma_1 = \boldsymbol\Sigma_2 = \boldsymbol\Sigma$ (модель Фишера).

а) Запишите явно уравнение разделяющей гиперплоскости $h_1 = h_2$ .

б) Найдите вероятности ошибок I и II рода $\alpha$ и $\beta$ при классификации на её основе.

Глава 19. Задачи с разборами

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4