§2. Эмпирический процесс

Построим на основе $W(t)$ новый случайный процесс.

Определение. Броуновским мостом называется случайный процесс $B(t) = W(t) - tW(1)$ при $0 \le t \le 1$.

Название объясняется тем, что оба конца каждой траектории $B(t)$ закреплены: $B(0) = B(1) = 0$. Нетрудно проверить, что

По кирпичикам (проверяем): $\operatorname{cov}(W(s) - sW(1), W(t) - tW(1)) = \min\{s, t\} - t\cdot\min\{s, 1\} - s\cdot\min\{t, 1\} + st\cdot1 = \min\{s, t\} - ts - st + st = \min\{s, t\} - st$. В частности, $\mathsf DB(t) = t(1 - t)$: максимум $\frac14$ посередине, ноль на концах.

Смысл по-пацански: броуновское движение — пацан с монеткой, который вышел из дома и идёт, куда она укажет. Мост — тот же пацан, которому к утру обязательно надо вернуться домой. Он так же шатается, но в середине пути может отойти дальше всего, а под утро его неизбежно тянет к двери.

Три пути к мосту

Броуновский мост $B(t)$ возникает в качестве предельного процесса при описанном выше преобразовании случайного блуждания, из которого вычитается прямая, соединяющая начало координат с точкой $(n, S_n)$ (см. рис. 1 §1).

Другой путь, приводящий в $B(t)$, состоит в изучении условного распределения траекторий блуждания, возвращающихся в нуль в момент $n$. На языке процесса $W(t)$ это соответствует переходу к пределу при $\varepsilon \to 0$ на множестве броуновских траекторий, у которых $|W(1)| < \varepsilon$.

Ещё один подход, приводящий к появлению броуновского моста, который мы обсудим подробно, основан на сходимости к $B(t)$ так называемого эмпирического процесса

где $\hat F_n(t)$ — эмпирическая функция распределения (см. §1 гл. 9), построенная по выборке $\eta_1, \dots, \eta_n$ из равномерного распределения на отрезке $[0, 1]$ (рис. 3 у Лагутина). Можно доказать, что конечномерные распределения $B_n(t)$ сходятся при $n \to \infty$ к распределениям $B(t)$.

По кирпичикам: при каждом $t$ число $n\hat F_n(t)$ — это биномиальная величина $\operatorname{Bin}(n, t)$, так что $\mathsf DB_n(t) = n\cdot t(1 - t)/n = t(1 - t)$ — ровно как у моста. А ковариация $\operatorname{cov}(B_n(s), B_n(t)) = \min\{s, t\} - st$ уже при любом $n$ (индикаторы $I\{\eta \le s\}$ и $I\{\eta \le t\}$ дают ковариацию $\min\{s, t\} - st$). И концы закреплены: $\hat F_n(0) = 0$, $\hat F_n(1) = 1$.

Смысл по-пацански: эмпирическая функция — лесенка, которая ползёт рядом с диагональю $t$. Разница между ними, растянутая в $\sqrt n$ раз, — это и есть мост: в начале и в конце она ноль (лесенка стартует с 0 и заканчивается в 1), а в середине шатается.

Функциональная предельная теорема

Однако нам потребуется более сильное утверждение о сходимости непрерывных функционалов от $B_n(t)$. (Функционал — это отображение из пространства функций в $\mathbb R$.)

Рассмотрим для примера статистику $U_n = \sup_{0\le t\le1}B_n(t)$. Верно ли, что $U_n \xrightarrow{d} U = \sup_{0\le t\le1}B(t)$ при $n \to \infty$? Нетривиальность ответа здесь связана с невозможностью представления $U$ как функции от значений $B_n(t)$ в конечном числе точек.

К тому же траектории предельного процесса $B(t)$ непрерывны с вероятностью 1, в то время как траектории $B_n(t)$ имеют разрывы в точках скачков функции $\hat F_n(t)$.

Для преодоления указанных трудностей рассмотрим на $[0, 1]$ два пространства функций: $C[0, 1]$ — множество всех непрерывных функций, $D[0, 1]$ — множество функций, непрерывных справа (в точке 1 — слева) и имеющих лишь конечное число скачков. Так как $C[0, 1] \subset D[0, 1]$, то $D[0, 1]$ (вместе с $\sigma$-алгеброй $\mathcal A_D$ (П1), порождённой цилиндрическими множествами, т. е. множествами функций $y(t)$, удовлетворяющих условиям вида $\{y(t_1) \in A_1, \dots, y(t_k) \in A_k\}$ с борелевскими $A_1, \dots, A_k$) можно считать выборочным пространством процессов $B_n(t)$ и $B(t)$. Положим $\|y\| = \sup_{0\le t\le1}|y(t)|$.

Теорема 1 (функциональная предельная теорема для эмпирического процесса). Пусть $G$ — функционал, определённый на $D[0, 1]$ и непрерывный в равномерной метрике в каждой точке $y \in D[0, 1]$: для любых $y_n, y \in D[0, 1]$ условие $\|y_n - y\| \to 0$ при $n \to \infty$ влечёт $G(y_n) \to G(y)$. Тогда $G(B_n) \xrightarrow{d} G(B)$.

(Эта теорема вытекает из более общего результата о слабой сходимости мер в пространстве $D[0, 1]$; ссылка — в книге Лагутина.)

Очевидно, рассмотренный выше для примера функционал $U$ удовлетворяет условиям теоремы 1. При этом распределение случайной величины $U$ можно найти в явном виде (см. задачу 6 гл. 14):

По кирпичикам — почему $\sup$ непрерывен в равномерной метрике: если $\|y_n - y\| \le \delta$, то $y_n(t) \le y(t) + \delta \le \sup y + \delta$ при всех $t$, и наоборот. Значит, $|\sup y_n - \sup y| \le \delta$. А закон $1 - e^{-2x^2}$ — предел формулы из гл. 14 для максимума блуждания-моста, полученной принципом отражения.

Смысл по-пацански: конечное число точек — это как опросить пятерых свидетелей: где был пацан в 10, в 11 и в полночь. А «как далеко он вообще отходил от дома за ночь» — это вопрос про всю ночь сразу. Теорема 1 разрешает отвечать на такие вопросы, если ответ не скачет от малых поправок к маршруту.

Далее в §3 обсуждается ряд следствий более сильного утверждения, справедливого для дифференцируемых функционалов от эмпирической функции распределения.

Проверь себя