Глава 1. Случайные величины: знакомимся с личным составом

В основе всего матстата лежит теория вероятностей — ту самую аксиоматику, кстати, собрал наш земляк Андрей Николаевич Колмогоров (в честь него и училище). Так что тут мы на своей земле. Но прежде чем гонять статистику, надо познакомиться с главным действующим лицом — случайной величиной. Без неё дальше никак.

Случайная величина — это число, которое кидает случай

Смотри, всё просто. Проводишь какое-то дело, а результат заранее не знаешь — он зависит от случая. Вот это число, которое выпадает по итогу, и есть случайная величина.

Примеры на пальцах:

сколько бракованных семок попалось в кульке;
сколько минут ждёшь маршрутку на остановке;
выпала решка или орёл;
сколько телефонов удалось отжать за вечер (шутка, но число-то случайное).

Обозначать её принято греческой буквой $\xi$ («кси»). Не пугайся значка — это просто имя переменной, как $x$ , только с понтом. Договорились: $\xi$ — наша случайная величина, дальше она везде.

Вопрос на засыпку: а как эту случайность вообще описать по-человечески? Ну выпало и выпало — что тут скажешь? А вот что.

Частота нащупывает вероятность

Кинь монету один раз — ты ничего не понял: решка так решка. Кинь десять раз — уже примерно видишь, что решка выпадает где-то в половине случаев. Кинь десять тысяч раз — и доля решек прилипнет к $0{,}5$ намертво.

Вот это ключевая тема: частота (сколько раз выпало нужное, делённое на сколько всего кидал) с ростом числа попыток перестаёт скакать и устаканивается на каком-то числе. Это число и называют вероятностью.

Классика жанра — взять толстую книгу и посчитать, как часто в ней попадается буква «а». Чем длиннее текст, тем ближе эта доля к «настоящей» частоте буквы в языке. Работает с чем угодно: с буквами, с монетами, с семками, с вечерними движухами. Закон один: мало попыток — шумит, много попыток — сходится к правде.

Покрути ползунок числа бросков в виджете сверху. Видишь? При малом числе попыток частоту колбасит, а как накидываешь тысячи — она садится на прямую истинной вероятности и не рыпается. Вот так частота и нащупывает вероятность.

Формально вероятность обозначают буквой $\mathbf{P}$ (от латинского probabilitas) и она всегда сидит в диапазоне от 0 до 1: $0 \le \mathbf{P} \le 1$ . Ноль — никогда, единица — гарантированно, а всё интересное посередине.

Функция распределения: вся биография величины на одном графике

Теперь главный инструмент. Хочется описать случайную величину целиком — не «сколько выпало разок», а весь расклад: с какими шансами она бывает маленькой, средней, большой. Для этого придумали функцию распределения.

Определение. Функция распределения случайной величины $\xi$ — это

F_\xi(x) = \mathbf{P}(\xi \le x),

то есть вероятность того, что величина окажется не больше, чем $x$ .

Разберём по-нашему. Пусть $\xi$ — сколько телефонов ты отжал за вечер, и ходишь ты на дело много вечеров подряд. Тогда $F_\xi(x)$ — это доля вечеров, когда улов был $x$ или меньше. Задал $x = 0$ — получил долю совсем пустых вечеров. Задал $x = 100$ — почти единица, потому что сотку за вечер поднять нереально, почти все вечера под эту планку попадают.

Отсюда сразу два свойства, которые надо чувствовать нутром:

Функция не убывает: чем выше задираешь планку $x$ , тем больше вечеров под неё влезает. Назад доля не отматывается.
Слева (при очень маленьких $x$ ) она жмётся к нулю, справа (при больших $x$ ) — подползает к единице. От «никогда» до «всегда».

Самое полезное: зная $F$ , можно посчитать вероятность попасть в любой промежуток. Шанс, что улов был больше $a$ , но не больше $b$ :

\mathbf{P}(a < \xi \le b) = F_\xi(b) - F_\xi(a).

Логика дворовая: «доля вечеров с уловом от $a$ до $b$ » = «доля до $b$ » минус «доля до $a$ ». Отрезал лишнее снизу — вот тебе кусок посередине.

Плотность: где значения кучкуются

С функцией распределения разобрались, она отвечает на «сколько всего накопилось до $x$ ». А хочется ещё понять, где значения гуще, а где реже. Для этого есть плотность.

Для непрерывных величин плотность $p_\xi(x)$ — это такая неотрицательная функция, что площадь под ней на куске $[a,b]$ даёт вероятность попасть в этот кусок:

\mathbf{P}(a \le \xi \le b) = \int_a^b p_\xi(x)\,dx.

Проще некуда: площадь под кривой = вероятность. Где плотность высокая — там значения валят кучей, случай туда попадает часто; где кривая присела к нулю — туда почти не залетает.

Связь с функцией распределения прямая — плотность это её производная (скорость роста):

p_\xi(x) = \frac{d}{dx} F_\xi(x).

Там, где $F$ круто прёт вверх, — плотность большая (значения кучкуются). Где $F$ идёт полого — плотность маленькая (пусто).

Три распределения, которые надо знать в лицо

Есть пара-тройка типовых раскладов, которые встречаются на каждом шагу. Запомни их как своих.

Равномерное — «пальцем в отрезок наугад»

Самое честное распределение. Величина $\eta$ равномерна на отрезке $[0,1]$ , если все точки для неё равноправны — как ткнуть пальцем наугад, не глядя. Вероятность попасть в любой кусочек равна просто длине этого кусочка: попасть в первую половину — шанс $1/2$ , в первую четверть — $1/4$ . Никакого блата, все точки равны.

Показательное — «сколько ждать до движухи»

Это про время до события. Сколько лампочка проработает до того, как перегорит. Сколько простоишь у ларька, пока подойдёт первый клиент. Сколько ждать, пока во дворе что-нибудь произойдёт. Задаётся параметром $\lambda > 0$ (насколько часто событие случается) и функцией

F_\tau(x) = 1 - e^{-\lambda x}, \quad x > 0.

Фишка показательного — у него нет памяти: сколько бы ты уже ни прождал, шансы на «вот-вот случится» те же, как будто только начал. Ждёшь маршрутку двадцать минут — она не «должна вот-вот прийти по справедливости», ей на твоё ожидание плевать.

Бернулли — «выгорело или спалился»

Самое дворовое распределение, чище не бывает. Величина $\zeta$ имеет распределение Бернулли, если у неё всего два исхода: $1$ (успех, с вероятностью $p$ ) и $0$ (провал, с вероятностью $1-p$ ).

\mathbf{P}(\zeta = 1) = p, \qquad \mathbf{P}(\zeta = 0) = 1 - p.

Метафора сама себя пишет: одна попытка провернуть дело. Выгорело — записываем $1$ (шанс $p$ ). Спалился — записываем $0$ (шанс $1-p$ ). Всё, третьего не дано. Честная монета — это Бернулли с $p = 1/2$ . А если монета кривая или дело рисковое ( $p \ne 1/2$ ) — просто шанс на успех другой, но суть та же: пан или пропал.

Погоняй все три распределения в виджете — покрути параметры и посмотри, как меняется форма:

Почему у Бернулли нет плотности

И тут важный водораздел. Величины бывают двух пород.

Непрерывные (равномерное, показательное) — значений у них тьма, они размазаны по всей прямой сплошняком. У таких есть плотность — есть что «размазывать».

Дискретные (Бернулли) — принимают конечное число значений. У Бернулли их вообще два: $0$ и $1$ . Вся вероятность сидит в этих двух точках железобетонными кусками ( $p$ и $1-p$ ), а между ними — пустота. Размазывать нечего, поэтому плотности у дискретных величин нет. Их график функции распределения — не плавная кривая, а лесенка со ступеньками ровно в тех точках, где сидят значения.

Пощупай руками

Хватит теории, запусти-ка код. Ниже — насэмплим кучу значений из показательного распределения и посмотрим на гистограмму: увидишь ту самую спадающую форму своими глазами. Жми «Run», можешь менять параметр lam и размер выборки:

Загрузка редактора…

Обрати внимание: среднее время ожидания выходит около $1/\lambda$ — это не совпадение, но почему именно так, разберём в следующей главе про математическое ожидание.