§5. Шкалирование индивидуальных различий

Во многих исследованиях, особенно в социальных и поведенческих науках, данные получают от нескольких источников информации, например от нескольких субъектов или при разных экспериментальных условиях. Недостатком метода Торгерсона является то, что входной информацией для него служит единственная матрица различий $\boldsymbol D = \|d_{ij}\|_{n\times n}$ ($n$ — число объектов), полученная осреднением данных всех субъектов. При осреднении теряется информация, отражающая различие во мнениях субъектов, которая может оказаться весьма ценной для понимания сути изучаемого явления. Подход, учитывающий эти различия, называется анализом точек зрения или шкалированием индивидуальных различий.

Смысл по-пацански: спроси пятерых пацанов, насколько похожи две тачки. Один смотрит на цвет, другой — на мотор, третий — на диски. Усреднишь их ответы — получишь мнение «никого». А надо понять, что карта у всех одна, но каждый по-своему растягивает её оси.

Рассмотрим часто применяемую при таком подходе модель.

Модель взвешенных факторов

Обозначим через $\boldsymbol X = \|x_{il}\|_{n\times m}$ матрицу координат объектов (стимулов), где $x_{il}$ — неизвестные параметры модели. Будем называть её групповой. Предполагается, что у каждого субъекта $s$ ($s = 1, \dots, k$) существует своя, индивидуальная матрица координат объектов $\boldsymbol X_s = \|x_{ils}\|_{n\times m}$, элементы которой связаны с элементами групповой матрицы $\boldsymbol X$ следующим образом:

где $w_{ls}$ — (неизвестный) вес координаты $l$ для субъекта $s$. Величина $\sqrt{w_{ls}}$ представляет собой коэффициент растяжения по $l$-й оси координат объектов в пространстве субъекта $s$ по отношению к групповым координатам $x_{il}$. Таким образом, всего в модели имеется $(nm + mk)$ неизвестных параметров: $nm$ групповых координат $x_{il}$ и $mk$ весов $w_{ls}$.

Иначе можно трактовать модель взвешенных факторов как определение субъектами расстояний между объектами не на основе обычной, а на основе взвешенной евклидовой метрики:

Пример 5. Зрительное восприятие букв. Испытуемые оценивали степень сходства между 19 печатными буквами русского языка. В групповом пространстве получилась двумерная конфигурация. Первая ось противопоставляет буквы с остроугольными элементами (А, К, У, Л…) буквам с прямоугольными (П, Н, Г, Т…). Вторая ось отвечает за преобладание круглых элементов букв (О, С, З, В…) над прямоугольными. Расположение экспертов на плоскости весовых коэффициентов показывает следующее.

• Эксперты различаются по тому, какой вес придают каждой из осей. Одна часть экспертов (ниже диагонали) придаёт больший вес первой оси, «острота против прямоугольности», другая (выше диагонали) — второй, «круглое против прямоугольного».
• Степень различия весов неодинакова. Большинство экспертов группируется вблизи диагонали, и для них различие между весами осей несущественно. Но для эксперта № 1 первая ось намного важнее второй, а для эксперта № 2 картина прямо противоположная. Их субъективные пространства восприятия получаются растяжением или сжатием групповой конфигурации с коэффициентами, равными квадратным корням из соответствующих весов.
• Эксперты отличаются и по сумме обоих весов. Непосредственный анализ исходных данных показывает: экспертам, которые при сравнении букв обоим факторам приписывают малые веса, соответствует большое количество ответов «похожи», а экспертам с большими весами — наименьшее. Например, эксперт № 3 при сравнении 153 пар букв ответил «похожи» 117 раз, а эксперт № 4 — только 3 раза.

Матрицы скалярных произведений субъектов

Для каждого субъекта $s$ введём диагональную $(m\times m)$-матрицу $\boldsymbol W_s$ с элементами $\sqrt{w_{ls}}$ ($l = 1, \dots, m$, $s$ фиксировано) и запишем соотношения (16) в матричной форме: $\boldsymbol X_s = \boldsymbol X\boldsymbol W_s$. Тогда матрица скалярных произведений субъекта $s$ представляется в виде

Все вместе матрицы $\boldsymbol G_s$, $s = 1, \dots, k$, образуют трёхмерный массив $\boldsymbol G$: объекты × объекты × субъекты.

С другой стороны, для каждого субъекта $s$ можно двойным центрированием (7) его матрицы различий $\boldsymbol D_s = \|d_{ijs}\|_{n\times n}$ вычислить $\boldsymbol G_s^* = \|g_{ijs}^*\|_{n\times n}$. Объединяя все матрицы $\boldsymbol G_s^*$, получим массив $\boldsymbol G^*$.

Напомним (см. формулу (4) в §1), что одним из свойств оптимальности главных компонент является то, что матрица скалярных произведений координат объектов искажается в наименьшей степени при проецировании на подпространство, порождённое несколькими первыми компонентами. Поэтому в качестве меры соответствия параметров модели $x_{il}$ и $w_{ls}$ данным $\boldsymbol D_s$ ($s = 1, \dots, k$) возьмём

Опишем алгоритм численной минимизации $F$, опирающийся на разработанный в 1970 г. Дж. Кэрролом и Дж. Чангом метод канонической декомпозиции.

Метод канонической декомпозиции

Наряду с групповой матрицей $\boldsymbol X$ введём матрицы $\boldsymbol Y = \|y_{jl}\|_{n\times m}$ и $\boldsymbol Z = \|z_{ls}\|_{m\times k}$, где $y_{jl} = x_{jl}$ и $z_{ls} = w_{ls}$. Игнорируя совпадение $y_{jl}$ с $x_{jl}$, будем считать $\boldsymbol X$, $\boldsymbol Y$ и $\boldsymbol Z$ наборами независимых переменных. В новых обозначениях минимизируемая функция $F$ запишется так:

(Минимизация нелинейной функции $F$ представляется как последовательное решение ряда линейных систем.) Процедура минимизации включает следующие пункты.

1. Начальные значения. В качестве начальных значений для $\boldsymbol X$ и $\boldsymbol Y$ можно использовать координаты $\hat{\boldsymbol X}_{med}$, получаемые применением метода Торгерсона к матрице $\hat{\boldsymbol D}_{med} = MED\{\boldsymbol D_1, \dots, \boldsymbol D_k\}$. Медиана предпочтительнее среднего арифметического: она уменьшает влияние на начальную оценку групповых координат тех субъектов, чьи $d_{ijs}$ сильно отличаются от других.
2. Веса. Фиксируем $\boldsymbol X$, $\boldsymbol Y$ и минимизируем $F$ сначала по $\boldsymbol Z$. Для этого положим $u = n(i - 1) + j$ (так что $u = 1, \dots, n^2$). Определяя $a_{ul} = x_{il}y_{jl}$ и $b_{us} = g_{ijs}^*$, перепишем функцию (17) в виде

где $\boldsymbol A = \|a_{ul}\|_{n^2\times m}$, $\boldsymbol B = \|b_{us}\|_{n^2\times k}$. Согласно методу наименьших квадратов минимизирующие правую часть веса $\hat{\boldsymbol Z}$ могут быть найдены по формуле $\hat{\boldsymbol Z} = (\boldsymbol A^T\boldsymbol A)^{-1}\boldsymbol A^T\boldsymbol B$. (Вместо вычисления $(\boldsymbol A^T\boldsymbol A)^{-1}$ быстрее решить методом Холецкого систему линейных уравнений $(\boldsymbol A^T\boldsymbol A)\hat{\boldsymbol Z} = \boldsymbol A^T\boldsymbol B$, см. П10.)

Доказательство. Пусть $\boldsymbol b_s$ и $\boldsymbol z_s$ ($s = 1, \dots, k$) обозначают столбцы матриц $\boldsymbol B$ и $\boldsymbol Z$ соответственно. Тогда $|\boldsymbol B - \boldsymbol A\boldsymbol Z|^2 = \sum_s|\boldsymbol b_s - \boldsymbol A\boldsymbol z_s|^2$. Ввиду формулы (7) главы 21 $s$-е слагаемое достигает минимума при $\hat{\boldsymbol z}_s = (\boldsymbol A^T\boldsymbol A)^{-1}\boldsymbol A^T\boldsymbol b_s$. Остаётся объединить все векторы $\boldsymbol b_s$ в матрицу $\boldsymbol B$. $\blacksquare$

3. Матрица Y. Попытаемся улучшить оценку для $\boldsymbol Y$ при фиксированных $\boldsymbol X$ и $\hat{\boldsymbol Z}$. Положим $v = n(i - 1) + s$ (так что $v = 1, \dots, nk$). Определяя $p_{lv} = x_{il}\hat z_{ls}$ и $q_{jv} = g_{ijs}^*$, минимизируем

где $\boldsymbol P = \|p_{lv}\|_{m\times nk}$, $\boldsymbol Q = \|q_{jv}\|_{n\times nk}$. Оценка наименьших квадратов для $\boldsymbol Y$ имеет вид $\hat{\boldsymbol Y} = \boldsymbol Q\boldsymbol P^T(\boldsymbol P\boldsymbol P^T)^{-1}$. Почему верна эта формула — вопрос 1. 4. Матрица X. Аналогично, фиксируя $\hat{\boldsymbol Y}$ и $\hat{\boldsymbol Z}$, улучшим оценку для $\boldsymbol X$. Вводя обозначения $t = n(j - 1) + s$ (так что $t = 1, \dots, nk$), $\boldsymbol R = \|r_{lt}\|_{m\times nk}$, $\boldsymbol H = \|h_{it}\|_{n\times nk}$, где $r_{lt} = \hat y_{jl}\hat z_{ls}$ и $h_{it} = g_{ijs}^*$, получим

что даёт оценку $\hat{\boldsymbol X} = \boldsymbol H\boldsymbol R^T(\boldsymbol R\boldsymbol R^T)^{-1}$.

Пункты 2–4 составляют один шаг итерационной процедуры. С каждым шагом функция $F$ уменьшается. При этом происходит точная минимизация по $\boldsymbol X$ ($\boldsymbol Y$ или $\boldsymbol Z$) при фиксированных значениях остальных наборов переменных. По существу, осуществляется покоординатный спуск, только в качестве координат выступают не числа, а матрицы. Процесс минимизации завершается, когда уменьшение $F$ станет несущественным.

Так как переменные $x_{il}$ и $y_{jl}$ были разделены, итоговые матрицы $\boldsymbol X$ и $\boldsymbol Y$ могут отличаться одна от другой. Для преодоления этого несоответствия с содержательным смыслом $x_{il}$ после завершения поиска минимума полагают $\boldsymbol Y = \boldsymbol X$ и ещё раз пересчитывают оценку матрицы весов $\hat{\boldsymbol Z}$.

Можно было бы приравнивать матрицы на каждой итерации. В этом случае пришлось бы пересчитывать только две матрицы вместо трёх. Однако свойства такого алгоритма не изучены, и нельзя утверждать, что он сходится хотя бы к локальному минимуму.

Исследования рассмотренного алгоритма канонической декомпозиции с помощью моделирования по методу Монте-Карло показали его высокую работоспособность.

Смысл по-пацански: три неизвестные матрицы сразу не поймать. Ловим по одной: две держим, третью находим методом наименьших квадратов, потом меняемся. Каждый раз $F$ только уменьшается — значит, куда-то приедем.

Проверим на модельных данных. Возьмём групповую конфигурацию из 10 «букв», веса пяти экспертов, по ним посчитаем каждому эксперту его зашумлённую матрицу различий. А потом забудем всё, кроме матриц различий, и попробуем восстановить веса.

Порядок и масштаб осей метод не знает, поэтому сравниваем отношения весов. Эксперт № 2 «смотрит» в основном на первую ось, эксперт № 3 — на вторую, остальные — почти поровну. Всё это восстановлено по одним матрицам различий.

Пример 6. Восприятие на слух болгарских согласных

В болгарском Институте обучения иностранных студентов болгарскому языку Гергановым Е. Н., Терехиной А. Ю. и Фрумкиной Р. М. проводились исследования различий восприятия согласных звуков между болгарами и иностранными студентами. Были выбраны 4 группы испытуемых по 50 человек: болгар, испанцев, вьетнамцев и арабов. Пары из 21 согласного звука в сочетании со звуком Ъ (БЪ — ВЪ) были записаны на магнитную плёнку, всего 210 пар. Испытуемые должны были внимательно слушать и отмечать, похожи ли два звука в паре. В результате для каждого испытуемого была получена матрица сходств. Совместный анализ данных всех испытуемых позволил построить шестимерное стимульное пространство:

1. сибилянтность — первая ось делит все согласные на сибилянты (Ч, Ш, Ж, ДЖ, Ц, С, ДЗ, З) и остальные;
2. шипящие — свистящие — вторая ось разделяет сибилянты по частоте: низкочастотные шипящие (Ч, Ш, Ж, ДЖ) и высокочастотные свистящие (З, С, Ц, ДЗ);
3. сонорность — третья ось выделяет среди всех согласных группу сонорных (Н, М, Р, Л);
4. место образования — от губных (Ф, В, П, Б, М) к зубным (С, З, Ц, ДЗ), далее к переднеязычным (Т, Д) и, наконец, к заднеязычным (К, Г);
5. дрожащий — пятая ось выделяет дрожащий звук Р;
6. глухость — звонкость — интересна тем, что «количество звонкости» определяется как бы в относительной степени: противопоставление глухости и звонкости реализуется попарно (З располагается выше, чем С; Ж — выше, чем Ш, и т. д.).

Профили весов, с которыми учитывали эти 6 признаков 4 группы испытуемых — носителей разных языков, оказались такими.

• Сибилянтность все испытуемые, особенно испанцы, ставили на первое место.
• Испанцы придавали большой вес и сонорности.
• Арабы дали наиболее низкие веса: они в наименьшей степени учитывали признаки «шипящие — свистящие», «сонорность» и «глухость — звонкость».
• Болгары в меньшей степени, чем все остальные, учитывали признак «переднеязычные — заднеязычные», а ориентировались при сравнении в большой степени на признак «глухость — звонкость».

По-видимому, различие в восприятии звуков носителями разных языков объясняется различием фонетических систем, на которые опираются их родные языки.

Смысл по-пацански: звуки для всех одни и те же, а уши у всех разные — каждого научил слышать свой родной язык. Модель взвешенных факторов эти «уши» и измеряет.

Проверь себя