Глава 24. Двухвыборочная задача о масштабе

Многие статистики развивали своего рода «логику», следы которой можно найти во многих прикладных книгах: прежде чем применять двухвыборочный $t$-критерий, проверь нормальность каждой выборки; если нормальность не отвергнута — проверь равенство дисперсий $F$-критерием; если и тут всё тихо — смело применяй $t$-критерий. В этом рецепте ни слова о возможной зависимости наблюдений, ни слова о катастрофической неустойчивости $F$-критерия для дисперсий и ни слова о том, что делать, если один из предварительных критериев значимость всё-таки покажет.

— пересказ замечания из книги, на которую ссылается Лагутин

В этой главе рассматриваются ранговые (и поэтому — устойчивые к «выбросам») альтернативы $F$-критерию, не предполагающие нормальности распределения наблюдений. (Изложение у Лагутина в основном следует главе 5 монографии Холлендера и Вулфа «Непараметрические методы статистики».)

Данные представляют собой две независимые случайные выборки, по одной из двух генеральных совокупностей. На основе этих выборок мы хотим выяснить, есть ли различие в мерах рассеяния (масштаба) этих совокупностей.

Смысл по-пацански: до сих пор мы спрашивали «кто выше ростом — наш район или соседний?». Теперь вопрос другой: «у кого пацаны разношёрстнее?». Средний рост может совпадать, а разброс — отличаться в разы: в одном дворе все как на подбор, в другом — от шкета до шкафа.

В этой главе:

• критерий Ансари — Брэдли — когда медианы совокупностей известны или равны: ранжируем «от краёв к середине»;
• критерий Мозеса — когда медианы неизвестны и неравны: режем выборки на подгруппы и сравниваем разбросы внутри подгрупп;
• оценка Шорака отношения масштабов;
• продолжение примера с мигренями из гл. 23: там ранговый критерий сдвига не увидел разницы по длительности приступов — здесь мы её найдём.

Параграфы

• §1. Медианы известны или равны — критерий Ансари — Брэдли.
• §2. Медианы неизвестны и неравны — критерий Мозеса и оценка Шорака.

(Задач и контрольных вопросов к этой главе у Лагутина нет — их заменяют виджеты и «Проверь себя» в параграфах.)

Опечатки и неточности книги

Числа Лагутина мы пересчитали в коде. Расхождения небольшие, на выводы не влияют:

• пример 1: дисперсия с поправкой на совпадения — $4616{,}7$, а не $4623{,}7$ (наше значение совпадает с точной перестановочной дисперсией); $z^* = 4{,}70$ — как в книге;
• пример 2: вероятность того, что все пять $C_r$ больше всех семи $D_s$, равна $1/792 \approx 0{,}0013$, а не «менее 0,001»; оценка Шорака $\sigma_1/\sigma_2 \approx 3{,}122$, а не $3{,}112$.
• процедура Шорака: при нечётном числе отношений $n'm' = 2l + 1$ медианой служит $Q_{(l+1)}$, а не напечатанное $Q_{(l)}$.

Что уносим из главы

Сравнивать разбросы по $F$-критерию можно лишь для нормальных данных — иначе он врёт об уровне значимости. Ранговый критерий Ансари — Брэдли свободен от распределения, но требует равных медиан: мешающий сдвиг съедает его мощность. Критерий Мозеса от медиан не зависит, но платит за это случайностью разбиения на подгруппы — и потому допускает только одну, честную, заранее выбранную группировку.