Глава 8. Задачи с разборами

Сравни $W$ как оценку параметра сдвига закона Лапласа (задача 2 главы 7) с оценками $\bar X$ и $MED$.

Построй график асимптотической дисперсии $\sigma^2_\alpha$ (теорема 1) для модели сдвига закона Лапласа. Будет ли эта функция монотонной? Найди пределы при $\alpha \to 0$ и $\alpha \to \tfrac12$.

Вычисли асимптотическую толерантность оценки Гальтона:

Найди точное значение асимптотической толерантности $\tau_W$ медианы средних Уолша.

Пусть $X_i$ равномерно распределены на $\left[\theta - \tfrac12, \theta + \tfrac12\right]$.

а) Возьми выборку размера $n = 5$ для $\theta = \tfrac12$: $x = 0{,}08;\ 0{,}42;\ 0{,}26;\ 0{,}89;\ 0{,}53$ (третья строка таблицы случайных чисел у Лагутина). Сравни на этих данных точность оценок $W$ и $\hat\theta = \tfrac12\bigl(X_{(1)} + X_{(n)}\bigr)$.

б) Какая из этих оценок предпочтительнее при больших $n$?

Рассмотрим модель сдвига $F(x - \theta)$, где $F$ имеет чётную плотность $p(x)$, причём $p(0) \ge p(x)$ при всех $x$ (максимум в центре). Докажи, что среди всех таких распределений наименьшую асимптотическую эффективность $e_{MED, \bar X}(F) = \tfrac13$ имеет равномерное распределение.