§6. Парадокс первой цифры: почему единица — главарь

Финал главы — красивый фокус, который ломает интуицию и, между прочим, ловит мошенников. Вопрос в лоб: с какой вероятностью число $2^n$ начинается с цифры 7?

Первая мысль: ну, цифр-то девять ($1, \dots, 9$), все равноправны, значит $1/9 \approx 0{,}111$. Логично? Логично. И неверно.

Откуда растёт перекос

Разберёмся честно. Число $2^n$ начинается с цифры $m$ (где $1 \le m \le 9$), если найдётся такое $l$, что

(Просто: $2^n$ лежит в «десятичном коридоре», начинающемся с цифры $m$.) Прологарифмируем по основанию 10 и перейдём к дробным частям:

А теперь ключ. Число $\log_{10} 2 \approx 0{,}301$ — иррациональное. Значит, по теореме Вейля из §5, последовательность $\{n \log_{10} 2\}$ равномерна на $[0,1]$! Поэтому вероятность попасть в коридор $[\log_{10} m,\ \log_{10}(m+1)]$ равна его длине:

Это и есть знаменитый закон Бенфорда. Посчитаем по кирпичикам:

• $p_1 = \log_{10} 2 \approx 0{,}301$ — единица лидирует с 30 %, почти треть!
• $p_7 = \log_{10} 8 - \log_{10} 7 \approx 0{,}058$ — семёрка всего 5,8 %, почти вдвое меньше наивных $1/9$.
• $p_9 \approx 0{,}046$ — девятка плетётся в хвосте.

Единица оказывается главарём, а крупные цифры — редкими гостями. Покрути виджет: степени двойки и факториалы садятся прямо на кривую Бенфорда, а вот равномерные числа — нет:

Проверим и кодом — посчитаем первые цифры $2^n$ и сравним с законом Бенфорда:

Выгодное пари

На этом перекосе можно честно нажиться. Предложи спор: первая цифра «большого числа» (скажем, $2^n$ при случайном $n$) окажется не больше 4. Лох прикинет наивно: четыре цифры из девяти, шанс $4/9 \approx 0{,}444$ — невыгодно. А на деле по формуле (13):

Почти 70 %! Пари, которое выглядит проигрышным, на самом деле железно выигрышное. (Кстати, для $N = n!$ частота выигрыша в этом пари — те же $\approx 0{,}68$.)

Где это работает в жизни

Закон Бенфорда выполняется для огромного класса реальных данных: счета в бухгалтерии, численности городов, длины рек, биржевые цифры. А главное — поддельные данные ему обычно не подчиняются: когда человек выдумывает числа «с потолка», он распределяет первые цифры слишком равномерно. На этом построены методы выявления финансовых махинаций и приписок — бенфорд-анализ реально ловит жуликов за руку. Математика на страже, кто бы мог подумать.

На этом глава о методе Монте-Карло закрыта. Переходи к задачам — там посчитаешь, сколько точек нужно на два знака числа $\pi$ (спойлер: почти миллион), и доломаешь интуицию про равномерность.

Проверь себя