Глава 13. Задачи с разборами

Каким следует взять $t_\alpha$ для критерия из примера 1, чтобы минимизировать сумму $\alpha + \beta$?

Пусть выборка состоит из единственного наблюдения $X_1$ с плотностью $p(x - \theta)$. Что представляет собой при разных значениях $c_\alpha$ критическое множество критерия Неймана — Пирсона для проверки гипотезы $H_0\colon \theta = 0$ против альтернативы $H_1\colon \theta = 1$, если $p(x) = [\pi(1 + x^2)]^{-1}$ (плотность закона Коши)?

Докажите, что число наблюдений $n^*$, обеспечивающее заданные вероятности $\alpha$ и $\beta$ для модели примера 1, равно $[\sigma(x_\alpha + x_\beta)/(\theta_1 - \theta_0)]^2$ (с точностью до 1), где $x_p$ — $p$-квантиль закона $\mathcal N(0, 1)$.

Вычислите предел при $\alpha \to 0$ экономичности критерия Вальда $E(\alpha)$, определяемой формулой (17), с помощью асимптотики $1 - \Phi(x) \sim (x\sqrt{2\pi})^{-1}\exp\{-x^2/2\}$ при $x \to +\infty$.

Дайте ответ на вопрос задачи 2 для модели сдвига показательного закона с плотностью $p(x) = e^{-x}I_{\{x \ge 0\}}$.

Найдите вероятность $r_k$ разорения игрока при $p \ne 1/2$ методом «стрельбы».