Глава 26. Броуновский мост

Эпиграф Лагутина к этой главе — слова Т. Хиды из книги «Броуновское движение». Пересказ: физическое явление, описанное ботаником Робертом Броуном в 1827 году, — хаотичное движение взвешенных в жидкости частиц цветочной пыльцы — за прошедшие с тех пор годы стало предметом изучения и чистой, и прикладной математики, и до сих пор в нём находят новые важные свойства и пользу.

Это последняя глава книги. В ней собирается воедино то, что встречалось на протяжении всего курса: случайное блуждание из гл. 14, критерий Колмогорова и омега-квадрат из гл. 12, асимптотическая нормальность квантилей из гл. 7, критерий хи-квадрат из гл. 18. Оказывается, за всеми этими результатами стоит один и тот же случайный процесс — броуновский мост.

Смысл по-пацански: весь курс мы ходили по разным кабинетам — Колмогоров, Мизес, Пирсон, квантили — и в каждом нам выдавали свой «предельный закон». А в конце выясняется, что за всеми дверями сидит один и тот же человек — броуновский мост. Просто в каждом кабинете у него спрашивают своё: кто максимум, кто интеграл квадрата, кто значение в одной точке.

В этой главе:

• броуновское движение $W(t)$ — предел сжатых случайных блужданий; его свойства, ковариация $\min\{s, t\}$ и нигде не дифференцируемые траектории;
• броуновский мост $B(t) = W(t) - tW(1)$ с закреплёнными концами и ковариацией $\min\{s, t\} - st$;
• эмпирический процесс $B_n(t) = \sqrt n(\hat F_n(t) - t)$ и функциональная предельная теорема: непрерывные функционалы от $B_n$ сходятся к тем же функционалам от $B$;
• дифференцируемые функционалы и общая теорема, из которой как следствия получаются пределы для статистик Колмогорова и Крамера — Мизеса, выборочных квантилей и хи-квадрат.

Параграфы

• §1. Броуновское движение — блуждания, свойства, ковариация.
• §2. Эмпирический процесс — мост, функциональная предельная теорема.
• §3. Дифференцируемые функционалы — один процесс, пять предельных законов.

Одна неточность книги исправлена в §3: в следствии 4 статистика хи-квадрат записана как $G(\hat F_n)$ без множителя $n$, который требует теорема 2.

(Задач и контрольных вопросов к этой главе у Лагутина нет. Книга заканчивается эпиграфом-куплетом из песни Ю. Визбора «Охотный ряд» — шутливой репликой пассажира автобуса о том, что поездка окончена и пора выходить.)

Что уносим из главы — и из всего курса

Эмпирическая функция распределения — главный «сырой материал» статистики. Её отклонение от истинной, растянутое в $\sqrt n$ раз, ведёт себя как броуновский мост. Поэтому предельные законы большинства статистик, которые вычисляются по $\hat F_n$, — это законы функционалов от одного и того же процесса. Выучил мост — понял, откуда берутся таблицы Колмогорова, омега-квадрат и хи-квадрат.

Смысл по-пацански: приехали. Курс пройден, ПТУ имени Колмогорова выпускает. Дальше — сами, но с головой.