§5. Нормальные случайные числа: три способа сварить колокол

Нормальный закон $\mathcal{N}(0,1)$ — самый ходовой товар в статистике: ошибки измерений, рост, вес, сумма кучи мелких случайностей. Значит, нормальный датчик нужен постоянно. Разберём три способа его собрать — от «на глаз» до точного.

Способ 1: обратная функция, но приближённо

По §1 достаточно уметь считать $\Phi^{-1}(y)$ — обратную к функции распределения стандартного нормального закона. Засада в том, что $\Phi$ не выражается через элементарные функции, а значит и обратная к ней тоже. Можно интерполировать подробную таблицу, а можно заменить $\Phi^{-1}$ близкой формулой. Хамакер предложил такую:

Разбираем по кирпичикам:

• $\operatorname{sign}(y - 0{,}5)$ — знак: $-1$, если $y$ меньше половины, $+1$, если больше. Нормальный закон симметричен, поэтому левая половина зеркалит правую.
• $4y(1-y)$ равно 1 в середине ($y = 0{,}5$) и падает к нулю на краях. Логарифм с минусом и корень превращают это в $z$: около нуля в середине и всё больше к краям.
• $1{,}238\,z\,(1 + 0{,}0262\,z)$ — подобранная поправка, чтобы попасть в настоящий $\Phi^{-1}$.

Точность — две верные цифры после запятой для $|\Phi^{-1}(y)| \le 4$. Для прикидок хватает, для серьёзных расчётов — так себе.

Способ 2: сложи двенадцать равномерных

Второй способ опирается на центральную предельную теорему (глава 3). Равномерная $\eta$ на $[0,1]$ имеет $\mathbf{M}\eta = 1/2$ и $\mathbf{D}\eta = 1/12$ (задача 2 главы 1). Значит, для суммы $S_n = \eta_1 + \dots + \eta_n$

Берём $n = 12$, тогда знаменатель $\sqrt{12/12} = 1$, и формула превращается в детскую: $S_{12} - 6$ — почти нормальное число. Двенадцать сложений и одно вычитание, никаких логарифмов.

Но есть подвох (Лагутин отмечает его отдельно). Настоящая $Z$ может принять любое значение, хоть миллион, хоть с ничтожной вероятностью. А сумма $S_{12} - 6$ заперта в отрезке $[-6, 6]$: выше шести не прыгнет никогда, ведь каждое $\eta_i \le 1$. Хвосты обрезаны, и как раз в хвостах датчик врёт.

Кстати, плотность суммы $S_n$ — это кусочный многочлен степени $n$ (на каждом отрезке $[i-1, i]$ свой), куски гладко «сшиты» на стыках. При $n = 1$ — прямоугольник, при $n = 2$ — треугольник, при $n = 3$ уже округлый горб, похожий на колокол.

Способ 3: Бокс–Мюллер, точно

А теперь способ без приближений. Берём пару независимых равномерных $\eta_1, \eta_2$ и получаем пару независимых $\mathcal{N}(0,1)$:

Почему это работает. Совместная плотность двух независимых нормальных

зависит только от $x^2 + y^2$, то есть от расстояния до центра. Перейдём к полярным координатам: $X = R\cos\Phi$, $Y = R\sin\Phi$. Плотность распадается на произведение

значит радиус $R$ и угол $\Phi$ независимы. Угол просто равномерен — точка может смотреть в любую сторону. А для радиуса $F_R(r) = 1 - e^{-r^2/2}$, и метод обратной функции из §1 даёт $R = \sqrt{-2\ln \eta_1}$. Угол — $\Phi = 2\pi\eta_2$. Подставили — получили формулу.

По-дворовому: кидаешь точку на плоскость «под колокол». Сторону, куда она полетит, выбираешь честной рулеткой (угол), а дальность — отдельным броском (радиус). Две проекции такой точки на оси — и есть два нормальных числа.

Покрути виджет. На «Сумме равномерных» двигай $n$ — увидишь, как прямоугольник превращается в треугольник, а потом в колокол. И сравни хвосты: сколько чисел ушло за $\pm 3$ и где самое большое значение.

Бокс–Мюллер и «двенадцать минус шесть» в коде:

Итог: Хамакер — быстро и приблизительно, «двенадцать минус шесть» — совсем дёшево, но хвосты обрезаны, Бокс–Мюллер — точно, ценой логарифма, корня и тригонометрии. А в задаче 6 узнаешь, как из двух нормальных одним делением получить закон Коши.

Проверь себя