Глава 13. Альтернативы

Самый отдалённый пункт земного шара к чему-нибудь да близок, а самый близкий от чего-нибудь да отдалён.

— Козьма Прутков

В главе 12 мы проверяли гипотезу «в одиночку»: верна ли она, и насколько неправдоподобны данные, если верна. Но гипотеза никогда не живёт сама по себе — если она неверна, то верно что-то другое. Это «другое» называется альтернативой. Как только альтернатива названа, у критерия появляются два способа ошибиться, и их можно взвешивать друг против друга.

В этой главе:

• ошибки I и II рода, функция мощности, несмещённость и состоятельность критерия; критерий «Новое лучше старого»;
• лемма Неймана — Пирсона: как построить самый мощный критерий, если гипотеза и альтернатива простые;
• последовательный анализ Вальда: объём выборки не фиксируем заранее, а решаем по ходу дела — и экономим около половины наблюдений;
• разорение игрока: случайное блуждание между двумя стенками — та же математика, что у Вальда;
• оптимальная остановка: когда хватать приз, а когда бросать монетку дальше.

Параграфы

• §1. Ошибки I и II рода — α и β, функция мощности, критерий Холлендера — Прошана.
• §2. Оптимальный критерий Неймана — Пирсона — «молекулы и атомы», отношение правдоподобия, теоремы 1 и 2.
• §3. Последовательный анализ — критерий Вальда, тождество Вальда, экономичность.
• §4. Разорение игрока — вероятность разорения, длительность игры, метод стрельбы.
• §5. Оптимальная остановка блуждания — стратегии «Никогда», «Сразу», «Все или ничего» и наилучшая.

Практика

• Задачи с разборами
• Контрольные вопросы

Что уносим из главы

При фиксированном объёме выборки нельзя сделать сколь угодно малыми обе ошибки сразу — уменьшаешь одну, растёт другая. Для простых гипотез лучший критерий строится по отношению правдоподобия. Если же разрешить себе решать по ходу наблюдений, то при тех же ошибках в среднем хватает примерно вдвое меньшего числа наблюдений. А случайное блуждание между двумя стенками — общий язык для последовательного анализа, азартных игр и задач об остановке.

Смысл по-пацански: две ошибки — как одеяло на двоих: тянешь к себе одну сторону, мёрзнет другая. Умный не дерётся за одеяло, а решает по ходу дела — и укладывается в половину времени. А пацан у игрового стола, критерий Вальда и частица у резинки ходят по одной и той же дорожке между двумя стенками.