§1. Броуновское движение

В §6 гл. 14 была введена модель симметричного случайного блуждания. Допустим, что для заданного значения $n$ выполнено следующее преобразование графика траектории блуждания (рис. 1 у Лагутина): масштаб по оси абсцисс сжат в $n$ раз, а по оси ординат — в $\sqrt n$ раз. При этом кусок графика на $[0, n]$ преобразуется в (случайную) ломаную, заданную на $[0, 1]$. Обозначим её через $W_n(t)$.

Известно, что в пределе при $n \to \infty$ на $[0, 1]$ возникает случайный процесс $W(t)$, называемый стандартным броуновским движением или винеровским процессом (обозначение $W(t)$ введено в честь Н. Винера, внёсшего значительный вклад в построение теории броуновского движения). Сходимость $W_n(t)$ к $W(t)$ можно понимать как сходимость конечномерных распределений процессов: для любых $0 \le t_1 < t_2 < \dots < t_k \le 1$ последовательность $\bigl(W_n(t_1), \dots, W_n(t_k)\bigr) \xrightarrow{d} \bigl(W(t_1), \dots, W(t_k)\bigr)$ (см. П5).

По кирпичикам: почему по вертикали $\sqrt n$, а не $n$? Сумма $S_n$ из $n$ шагов $\pm1$ имеет дисперсию $n$, т. е. типичное отклонение $\sqrt n$. Сожми в $n$ раз — получишь ноль (закон больших чисел), сожми в $\sqrt n$ — получишь нормальную величину с дисперсией 1 в момент $t = 1$ (центральная предельная теорема). А в момент $t$ ломаная прошла $tn$ шагов, и $W_n(t) \approx S_{tn}/\sqrt n \sim \mathcal N(0, t)$.

Смысл по-пацански: пацан идёт по улице и на каждом шаге бросает монетку: орёл — шаг вправо, решка — шаг влево. Посмотри на его маршрут издалека — когда шагов миллион, а ты сжал картинку правильно, — увидишь не ломаную, а дрожащую непрерывную кривую. Это и есть броуновское движение.

Процесс $W(t)$ характеризуется следующими свойствами:

1. $W(0) = 0$;
2. приращения $W(t_2) - W(t_1), \dots, W(t_k) - W(t_{k-1})$ независимы;
3. $W(t) - W(s) \sim \mathcal N(0, t - s)$ при $0 \le s < t$;
4. траектории $W(t)$ непрерывны с вероятностью 1.

Нигде не дифференцируемые траектории

Однако траектории процесса $W(t)$ нигде не дифференцируемы с вероятностью 1. Этот факт соответствует физической природе процесса, а математически объясняется разной скоростью сжатия в горизонтальном и вертикальном направлениях ломаной случайного блуждания, вследствие чего каждый локальный максимум (минимум) траектории становится с ростом $n$ всё более «острым».

По кирпичикам: по свойству 3 приращение за время $\Delta t$ имеет порядок $\sqrt{\Delta t}$, а точнее $\mathsf M|W(t + \Delta t) - W(t)| = \sqrt{2\Delta t/\pi}$. Разностное отношение $|\Delta W|/\Delta t$ — порядка $1/\sqrt{\Delta t} \to \infty$ при $\Delta t \to 0$. У гладкой функции оно стремилось бы к $|f'(t)|$, а здесь — улетает в бесконечность.

Смысл по-пацански: под микроскопом гладкая кривая становится прямой. А броуновская — нет: увеличь в 100 раз, и она будет такой же рваной, как была. Касательную к ней не проведёшь ни в одной точке.

Ковариационная функция

Из свойств 1 и 3 вытекает, что $\mathsf MW(t) = 0$ при всех $t$. Вычислим ковариационную функцию $R(s, t) = \mathsf MW(s)W(t)$. При $s < t$, используя свойства 2 и 3, находим, что

В общем случае, очевидно, $R(s, t) = \min\{s, t\}$.

По кирпичикам: разбили $W(t) = W(s) + [W(t) - W(s)]$. Первое слагаемое — «то, что уже прошли», второе — «то, что будет», и оно от прошлого не зависит (свойство 2) и в среднем равно нулю. Поэтому ковариация $W(s)$ с $W(t)$ — это просто дисперсия общего куска пути, $\mathsf DW(s) = s$.

Смысл по-пацански: где был наш пацан с монеткой в 10 вечера и где он в полночь — связано ровно настолько, насколько полночь «помнит» 10 вечера: весь путь до 10 у них общий, а дальше — новые шатания, к прошлому отношения не имеющие.

Проверь моделированием:

Проверь себя