Глава 20. Задачи с разборами

Пусть $\boldsymbol A$, $\boldsymbol B$ и $\boldsymbol A - \boldsymbol B$ — неотрицательно определённые матрицы. Докажите, что

а) $\operatorname{tr}\boldsymbol A \ge \operatorname{tr}\boldsymbol B$; $\operatorname{tr}\boldsymbol A = \operatorname{tr}\boldsymbol B \iff \boldsymbol A = \boldsymbol B$.

Указание. Используйте приведение $\boldsymbol A - \boldsymbol B$ к главным осям.

б) $\det\boldsymbol A \ge \det\boldsymbol B$; если $\det\boldsymbol B > 0$, то $\det\boldsymbol A = \det\boldsymbol B \iff \boldsymbol A = \boldsymbol B$.

Указание. Рассмотрите сначала случай $\boldsymbol B = \boldsymbol E$ и докажите, что тогда все собственные значения матрицы $\boldsymbol A - \boldsymbol E$ не меньше 1.

Выведите соотношения (19) для градиента функционала Сэммона.

Получите представление (22) рангового коэффициента Спирмена $\rho_S$.

Указание. Разложите $\sum\Bigl[\Bigl(i - \frac{n+1}2\Bigr) - \Bigl(T_i - \frac{n+1}2\Bigr)\Bigr]^2$.

Докажите, что $\mathbf D\rho_S = 1/(n - 1)$ при справедливости гипотезы $H_0$.

Указание. Положим $\xi_i = R_i - \frac{n+1}2$. В силу равенства $\sum\xi_i = 0$ имеем $0 = \mathbf M\bigl(\xi_1\sum\xi_i\bigr) = \mathbf M\xi_1^2 + (n - 1)\mathbf M\xi_1\xi_2$.

Проверьте справедливость для $\rho_S$ представления (25):

Проверьте, что для любых $x_1, \dots, x_n$ и $y_1, \dots, y_n$ верно тождество

Используйте метод неопределённых множителей Лагранжа для нахождения оценок максимального правдоподобия неизвестных параметров $r_1, \dots, r_{n-1}, s_1, \dots, s_{m-1}$ в схеме II из §9.

Указание. См. похожую задачу 6 главы 18.