Песочница (dev)

a = 137, c = 187, m = 256. Грубый модуль — пары сразу садятся на несколько прямых.Параметры: a = 137, c = 187, m = 256, k₀ = 7. Период: 256. Первые yₙ: 0.027, 0.477, 0.020, 0.406, 0.387, 0.711…

Бегущее среднее числа опросов N по мере накопления опытов.Округление до 2 знаков обрывает ряд: среднее садится около теории 2·ln10 + γ ≈ 5.18.

Зелёная дуга — истинное решение (полуокружность). Красная ломаная — метод Эйлера с шагом h.Уменьшай шаг — ломаная держится точнее. Но у линии y = 0 правая часть −x/y рвётся: наклон взлетает, и метод «перепрыгивает» вниз, на чужую кривую. Разрыв шагом не победить.

Площадь четверти круга, умноженная на 4, даёт π ≈ 3,1416. Жребием считаем число π.Оценка Î_n = среднее φ в случайных точках. Точное значение: 3.1416. Сейчас: 3.1594 (ошибка 0.0178).

Нормальная плотность N(0,1). Закрашена область [−3σ, +3σ].Вероятность попасть в неё: P(|Z| ≤ 3) = 99.7 %. Правило трёх сигм: почти вся масса (99,7 %) лежит в ±3σ.

Кидаем точки в единичный квадрат. Красные — под дугой (x²+y² ≤ 1), серые — снаружи.Доля под дугой ≈ площадь четверти круга = π/4. Умножаем на 4: оценка π = 3.1307 (точное 3,1416).

Доля объёма шара в k-мерном кубе. Красный столбик — выбранная размерность k = 3.При k = 3: точное p = 52.36 %, Монте-Карло оценка = 51.06 %. С ростом k шар почти «испаряется» — объём уходит в углы куба.

Гистограмма дробных частей {n·α} по 10 ячейкам отрезка [0,1]. Ровная линия = равномерность по Вейлю (каждая ячейка ≈ 0,1).α = √2 иррационально: столбики выравниваются — последовательность заполняет отрезок равномерно.

Частоты первой цифры (столбики) против закона Бенфорда pₘ = log₁₀(1 + 1/m) (линия).Степени двойки и факториалы точно садятся на закон Бенфорда: единица — 30,1 %, семёрка — всего 5,8 %, а не 1/9.

Верхний график: функция распределения F. Берём равномерное y = 0.70 на вертикали, идём вправо до кривой и опускаемся вниз: x = F⁻¹(y) = 1.204.Нижний: гистограмма n таких x против теоретической плотности — совпадают. За край картинки улетело 0.6 % точек — у этого закона тяжёлые хвосты.

Источник: показательное Exp(1). 3000 раз берём максимум из n чисел и нормируем: X₍ₙ₎ − ln n.Столбики — что вышло, линия — предельный закон. Уже при небольших n они садятся друг на друга.

Гистограмма чисел из датчика фон Неймана против плотности e⁻ˣ. Среднее: 0.996 (теория 1).Логарифмов потрачено: 0. Равномерных чисел на одно показательное: 4.30 (теория ≈ 4,30).

6000 чисел по теореме 2 против плотности λe^(−λx). При n = 1 это обычный метод обратной функции.Цена одного показательного числа: логарифмов 0.33, равномерных 1.67, плюс сортировка 2 чисел на каждые 3.

Гистограмма датчика против плотности N(0,1). При n = 1 это просто равномерное, при n = 2 — треугольник, к n = 12 почти колокол.За ±3 вышло 0.22 % (у нормального 0,27 %). Самое большое |x| = 4.03, а выше √(3n) = 6.00 эта сумма не прыгнет никогда.

Кривая — шанс выбрать самого лучшего при каждом m. Красная линия — твоё m = 7: шанс 38.4 % по формуле, 38.5 % в 4000 симуляциях.Оптимум (синяя): m* = 7, шанс 38.4 %. Для сравнения n/e = 7.4, а предел шанса 1/e ≈ 36,8 %.

Датчик: считаем успехи в n испытаниях Бернулли. Столбики — частоты по 20000 числам, точки — теоретические вероятности.Среднее по выборке 5.998, теория 6.000.

Берём 10 равномерных чисел, сортируем и смотрим 3-я по величине. Так 8000 раз.Линия — бета-плотность B(3, 8). Её центр около k/(n+1) = 0.273.

Непрерывная функция с изломом в середине. Многочлены подползают к ней со всех сторон.Наибольшее отклонение многочлена от функции: 0.492. Увеличивай n и смотри, как оно тает.

Верхний график: броски в прямоугольник высотой C = 2.46. Красные легли под график и приняты, серые выброшены. Нижний: гистограмма принятых против плотности.Доля принятых 40.2 % (теория 1/(C·(b−a)) = 40.7 %). В среднем 2.46 броска на одно число — поднимешь C, будет больше отходов.

Платежи тебе: (1,1) +2, (1,2) −3, (2,1) −3, (2,2) +4. Средний выигрыш за партию Z = 12p₁p₂ − 7p₁ − 7p₂ + 4 = -0.083.Сплошная линия — твой счёт по ходу игры, пунктир — ожидаемый Z·n. После 3000 партий: -191. При p₂ = 7/12 Z = −1/12 при любом p₁ — сколько ни крути свою стратегию.

Кто-то загадал θ от 10 до 90 и кинул 10 точек равномерно на [0, θ]. Видны только точки. Поставь свою догадку и вскрой, а потом сравни с формулами.Счёт: раундов 0, ты ближе θ̂₃ в 0.

4000 раз берём выборку из 10 точек на [0, θ], θ = 1, и считаем по ней каждую оценку. Кривые показывают, как разбросаны значения оценок, зелёная вертикаль — истинное θ.Несмещённая оценка — горб, центр тяжести которого стоит на θ. Точная — горб узкий. Двигай n и смотри, кто сужается, а кто нет.

Синяя — риск частоты X̄, красная — риск оценки Ходжеса — Лемана θ̃. Пунктиры — максимумы кривых. Ходжес — Леман точнее на 66 % значений θ.Минимакс (худший случай): X̄ — 0.0278, θ̃ — 0.0156, выигрывает θ̃. Байес (среднее по равномерному θ): X̄ — 0.0184, θ̃ — 0.0156, выигрывает θ̃.

Верхний график — p(θ): шанс, что θ̃ окажется строго ближе к θ, чем частота X̄. Он скачет вокруг ½, а в среднем по θ равен 0.507.Нижний — эксперимент: θ₀ каждый раз берётся наугад из [0, 1]. Из 5000 раз θ̃ ближе в 2541, X̄ ближе в 2459, ничьих 0. Доля побед θ̃ — 50.8 %.

Сверху — первые 40 лучей из источника над нулём: угол равномерный, точка на оси — величина Коши. Лучи, ушедшие почти горизонтально, улетают за кадр. Из 2000 точек дальше 10 от центра — 125, самая дальняя — на 1029.Снизу — бегущее среднее X̄ и бегущая медиана по первым m точкам. После 2000: X̄ = -0.07, MED = 0.038. Среднее дёргается от каждого выброса и не сходится, медиана садится на 0.

Закон: N(0, 1). 3000 выборок по n = 51. Столбики — √n·(MED − x_α) и √n·(X̄ − центр), линии — нормальные плотности из теоремы и ЦПТ.Относительная эффективность e(MED, X̄) = σ²(X̄)/σ²(MED): теория 0.637, опыт 0.650.

Закон: N(0, 1). 3000 выборок по n = 51. Столбики — √n·(MED − x_α) и, линии — нормальные плотности из теоремы.Относительная эффективность e(MED, X̄) = σ²(X̄)/σ²(MED): теория 0.637, опыт 0.650.

4000 раз складываем n = 50 независимых копий и делим сумму на n. Линия — закон одного слагаемого.Устойчивость: при любом n гистограмма ложится на ту же кривую. Поставь n = 1 и n = 200 — разницы нет. За кадром 8 % (хвосты).

Закон: N(0, 1). Линия — асимптотическая дисперсия σ²_α усечённого среднего по теореме 1; слева (α = 0) — X̄, справа (α = ½) — медиана. Точки — n·D(X̄_α) по 1500 выборкам объёма 100.Лучшее α ≈ 0.000, σ² = 1.000. При α = 1/8: σ² = 1.080, эффективность к X̄ = 0.926, к медиане = 1.455.

20 нормальных точек с центром 0, из них 2 заменены на 30. Столбики — значения оценок, обрезка на ±5: если оценка ушла дальше, её «унесло».Двигай значение выброса вверх: сломанная оценка поедет за ним, устойчивая останется около нуля. X̄ ломается от одного выброса, X̄₁/₈ — от трёх, W — от шести (около 29 %), MED — только от десяти, то есть от половины.

Закон: N(0, 1). Столбики — эффективность относительно лучшей из четырёх оценок по теории (1 — лучшая).В таблице асимптотические дисперсии по теоремам и n·D по 600 выборкам объёма 40. У Уолша на всех законах эффективность не ниже 0,864 относительно X̄ (теорема 4).

10 чисел из примера 1: нормальная выборка с μ = 1, σ = 2. Верхний график — нормальная вероятностная бумага: по оси y отложено Φ⁻¹((i − ½)/n). Если закон нормальный, точки лежат около прямой.По прямой: μ̂ = 1.12 (где прямая пересекает y = 0), σ̂ = 2.23 (наклон); корреляция r = 0.968. Для сравнения X̄ = 1.12, S = 2.16. Нижний — эмпирическая функция распределения против истинной.

Модель: X_i ∈ {0, 1}, P(X_i = 1) = θ. Кривая — правдоподобие при этих данных как функция θ. Успехов s = 5 из 10. Зелёная вертикаль — истинное θ = 0.30, красная — ОМП θ̃ = 0.500.Информация Фишера одного наблюдения I₁ = 4.762, граница Рао — Крамера даёт разброс порядка 1/√(nI₁) ≈ 0.145.

Синяя кривая — левая часть уравнения правдоподобия φ(θ) = Σ 2(x_i − θ)/(1 + (x_i − θ)²) для выборки Коши из 5 точек (оранжевые на оси). Корней на окне: 1. Пунктиры — касательные: каждая доводит до следующего приближения.После 4 шагов θ = -1.304686, φ = 3.33e-16. Около простого корня число верных знаков на каждом шаге примерно удваивается. Начни далеко от корня — касательные разбросает (осцилляции).

60000 выборок Бернулли объёма 5 при θ₁ и столько же при θ₂. Оставляем только те, где ровно 2 единиц, и смотрим, как часто встречается каждое расположение. Пунктир — 1/C(n, t) = 0.1000.Этап 1 зависит от θ: P(T = 2) равна 0.205 при θ₁ и 0.132 при θ₂ (попаданий 12212 и 7894). Этап 2 — нет: при обоих θ все расположения равновероятны. Всё, что выборка знает про θ, сидит в T.

5000 выборок объёма 10. Синие столбики — исходная несмещённая оценка θ̂ = X₁, красные — она же после усреднения по достаточной статистике: M(X₁ | ΣXᵢ) = X̄. Обе несмещённые, но вторая собрана в узкий горб.Оценка по одному наблюдению после усреднения становится частотой — дисперсия падает в n раз.

20 различимых шариков по 10 ящикам. Столбики — вероятность ровно k пустых ящиков: формула и опыт (20000 размещений). Линия — Пуассон с λ = N·e^(−n/N) = 1.353.Ни одного пустого: 0.2147. Для различимых пустые ящики исчезают при n ≈ N ln N. Переключи тип шариков при тех же n и N.

Две одинаковые колоды из 10 карт, одну перетасовали. Столбики — вероятность ровно k совпадений: точная формула и опыт (20000 раскладов). Линия — Пуассон с λ = 1.Хотя бы одно совпадение: 1 − P(B₀) = 0.6321; при N → ∞ это 1 − e⁻¹ ≈ 0,632 — почти не зависит от N уже с N = 5.

60 интервалов для параметра «сдвиг θ» по 60 независимым выборкам объёма 10. Синие накрыли истинное значение (зелёная вертикаль), красные — промахнулись: 1 из 60.По 4000 выборкам доля накрытий 94.6 % при заявленных 95 %. Средняя длина интервала 0.300.

60 интервалов для параметра «сдвиг θ₁» по 60 независимым выборкам объёма 10. Синие накрыли истинное значение (зелёная вертикаль), красные — промахнулись: 3 из 60.По 4000 выборкам доля накрытий 94.6 % при заявленных 95 %. Средняя длина интервала 1.390.

Сверху — плотность Стьюдента t_k (красная) против N(0, 1) (синяя). При k = 1 это закон Коши, с ростом k хвосты худеют, и t_k приближается к нормальному. Квантиль 0,975: у t_k 3.182, у N(0, 1) 1,960.Снизу — плотность χ²_k. Среднее k, максимум в точке k − 2 = 1 (при k ≥ 2), правый хвост тяжелее левого. Квантили 0,025 и 0,975: 0.22 и 9.35.

Точная вероятность того, что интервал накроет истинное θ, как функция θ (n = 30). Пунктир — заявленный уровень 0.95. «Пила» — из-за дискретности: число успехов принимает только значения 0, 1, …, n.Точный (метод 2): среднее покрытие 97.4 %, минимум 95.4 %; Арксинус (метод 3): среднее покрытие 93.1 %, минимум 63.7 %; Подстановка (метод 4): среднее покрытие 87.9 %, минимум 14.0 %. Точный интервал никогда не опускается ниже уровня, подстановка у краев проваливается.

Столбики — закон числа гербов T при честной монетке (H: θ = ½). Красные — критическая область T ≥ 9: туда T попадает с вероятностью не больше α = 0.05. Обведённый столбик — наблюдение t₀ = 8.Фактический уровень значимости α₀ = P(T ≥ 8) = 0.0547. Не попали — гипотезу принимаем (но это не доказательство честности).

Синяя лесенка — эмпирическая функция распределения, диагональ — y = x (гипотеза равномерности). Красная вертикаль — где отклонение наибольшее: D_n = 0.1329, √n·D_n = 0.728.Фактический уровень значимости — шанс получить такое же или большее отклонение при верной гипотезе. Если он мал (меньше 0,05), равномерность отвергаем.

Выборка из выбранного закона (сдвинутого и растянутого — μ и σ неизвестны). Проверяем сложную гипотезу нормальности пятью способами. Оценки по выборке: X̄ = 3.125, S = 1.661.Для статистик Стефенса уровень — по таблице Лагутина (диапазон), для моментов — по нормальному приближению. Малое значение (меньше 0,05) — нормальность отвергаем. При n около 20 почти всё «нормально», при n = 500 ловится почти всё, кроме самого нормального закона.

Столбики — вероятности исходов p_i ∝ e^(−t·i). Энтропия H = −Σ p_i log₂ p_i = 2.323 бит, максимум log₂ N = 3.000 — при t = 0, когда все исходы равновероятны.Код Хаффмана: частым исходам — короткие слова, редким — длинные. Средняя длина 2.380 двоичных знаков на символ; она не меньше H и меньше H + 1. Равномерный код тратил бы ⌈log₂ N⌉ = 3.

Сверху — отношение правдоподобия r(x) = (1 + x²)/(1 + (x − 1)²) и уровень c_α = 2.527. Закрашено оптимальное критическое множество G* = {x : r(x) ≥ c_α} — отрезок: [1,365; 1,944].Снизу — плотности Коши при H₀ (θ = 0, синяя) и H₁ (θ = 1, красная). Пунктир — граница t = 6.31 «наивного» критерия «отвергаем, если x ≥ t» того же уровня.Мощность Неймана — Пирсона: 0.129, наивного критерия: 0.059.

20 блужданий S_k = Z₁ + … + Z_k, где Z_i = ln[p₁(X_i)/p₀(X_i)]. Границы c₀ = -2.94 и c₁ = 2.94. Красные траектории вышли вверх (принята H₁), синие — вниз (принята H₀).По 4000 опытам: доля ошибочных решений 0.025 (заказывали 0.05); среднее число наблюдений 6.9, приближение Вальда (15) — 5.3.Критерию Неймана — Пирсона с теми же α и β нужно n* = 11 наблюдений всегда. Вальд в среднем тратит 62 % от этого.

12 игр: капитал первого игрока после каждой партии. Красные кончились разорением (капитал 0), синие — выигрышем всех M = 20.Вероятность разорения r_k = 0.5000 (по 3000 играм — 0.5090). Средняя длительность игры l_k = 100.0 (по моделированию — 99.6).Нижний график — точная функция распределения длительности P(ν ≤ m). Медиана — 76 партий.

Столбики — призы. Красные — точки, где стратегия Наилучшая велит остановиться. Сплошная линия — средний выигрыш из каждой точки старта при этой стратегии, пунктир — «резинка» (вогнутая мажоранта), выше которой не прыгнуть.Средний выигрыш при случайном старте: «Никогда» — 0,000; «Сразу» — 2,500; «Все или ничего» — 2,625; Наилучшая — 2,750. Среднее число шагов у выбранной: 0,625.

X ~ N(0, 1), Y ~ N(0.5, 1). Синяя ступенька — F̂ₙ (выборка X), красная — Ĝₘ (выборка Y). D = 0.233 — наибольший вертикальный зазор между ними, D⁺ = 0.233 — наибольший зазор, где синяя выше.Фактические уровни значимости α₀: по предельному закону и по 1000 моделированиям при верной H₀ (для Уилкоксона — точно, по закону U). Оценка сдвига θ̂ = MED{Yⱼ − Xᵢ} = 0.295.

Точный закон суммы рангов V = S₁ + … + Sₘ при верной H₀: все C(n+m, m) расстановок Y по n + m местам равновероятны. Линия — нормальное приближение с MU = nm/2 и DU = nm(n+m+1)/12. Красные столбики — хвост V ≥ 39.P(V ≥ 39) точно: 0.0628; по нормальному приближению (7): 0.0502. U* = 1.643, поправка Имана Ũ* = 1.734 против z₀,₀₅ = 1.739 — не отвергаем.

Мощность односторонних критериев уровня 0.05 против правого сдвига θ, по 600 парам выборок из закона Тьюки (1 − ε)·N(0, 1) + ε·N(0, 9). Красная — Уилкоксон (точный уровень 0.048 — закон U дискретный), синяя — Стьюдент.Асимптотическая эффективность Уилкоксона относительно Стьюдента E(F_ε) = 1.373 — Уилкоксону нужно меньше наблюдений.

Синий — случайный путь из (0, 2) в (20, 4), коснувшийся оси в момент τ = 2. Красный пунктир — его участок до τ, отражённый относительно оси: теперь путь идёт из (0, −2) в (20, 4). Такое отражение — взаимно однозначное соответствие.Всего путей из (0, 2) в (20, 4): N = 167960. Касающихся оси: N_{n,a+b} = 77520. Положительных: 90440.

Слева — упорядоченные приращения zᵢ = yᵢ − xᵢ (красные — положительные). Нулевых приращений 1 — их отбрасываем, n = 11. Справа — проверка симметрии: точки (ξᵢ, ηᵢ) = (MED − z₍ᵢ₎, z₍ₙ₊₁₋ᵢ₎ − MED) должны лежать возле прямой y = x.

Закон ошибок: Нормальный (N(0, 1)). Мощность односторонних критериев уровня 0.05 против сдвига θ по 800 повторениям. Точные уровни у дискретных критериев меньше α: знаков — 0.021, знаковых рангов — 0.049.Асимптотическая эффективность знаков относительно знаковых рангов e_MED,W = 0.667 — знаковые ранги экономнее.

Гипотеза H₀′: θ = 0 верна, но соседние приращения коррелированы. Кривые — истинный уровень значимости трёх критериев номинального уровня 0.05 при n → ∞ (формулы примера 3). Пунктир — выбранное ρ.При ρ = 0.40: среднее — 0,110 (моделирование 0,117), знаки — 0,091 (0,097), знаковые ранги — 0,108 (0,118); моделирование — 3000 выборок объёма 100.

+++++++++++−−−−−++−−+++++−++n = 28, единиц m = 8, нулей l = 20, серий k = 7; μ = 12.429, σ² = 4.414. Столбики — точный условный закон числа серий при данном m (он не зависит от p), линия — нормальное приближение.Против H⁺ (слишком мало серий): t* = -2.346, α₀ ≈ 0,009, точно 0,011.

Точки — наблюдения по группам. Средние ранги R̄ⱼ: 1: 9,20; 2: 3,17; 3: 5,50; 4: 11,67; 5: 3,50.W = 8,39, с поправкой на совпадения W′ = 8,43; по χ²_4 α₀ ≈ 0,077. Поправка Имана — Давенпорта: W̃ = 12,51 против w̃₀,₀₅ = 12,01 — отвергаем H₀ на уровне 5 %.

Статистики Манна — Уитни: UAB = 22,00, UAC = 30,50, UBC = 26,50. J = 79,00, MJ = 54,00, DJ = 153,00, J* = 2,02.Фактический уровень значимости: Джонкхиер — 0,022 по нормальному приближению, 0,024 по 3000 перестановкам; Краскел — Уоллис для тех же данных — 0,116.Сравнение с контролем A (Данн, α = 0,05, D = 6,04): B: 2,00; C: 6,25 — лучше контроля. Контраст Δ̂CA = 4,17.

Гипотеза H′ (все дисперсии равны) верна, номинальный уровень критерия Бартлетта 0.05. Синие столбики — доля ложных отказов по 250 опытам для k групп по 30 наблюдений из закона «Стьюдент t₇» (эксцесс κ = 2). Красные — предел при больших выборках: B* ведёт себя как (1 + κ/2)·χ²ₖ₋₁, отсюда уровень P(χ²ₖ₋₁ ≥ χ²ₖ₋₁;₀,₉₅ / (1 + κ/2)).

Сверху — одно блуждание из 400 шагов. Возвращений в начало: 0.Снизу — точная вероятность вернуться в начало не позже шага t (Σf₂ᵢ из леммы) для прямой, плоскости и пространства; точки — доля из 3000 смоделированных блужданий для выбранной размерности. На прямой и плоскости кривые ползут к 1 (на плоскости — очень медленно), в пространстве — к 0.34.

Закон статистики Фридмана F при H₀: все (k!)ⁿ наборов рангов равновероятны. Столбики — точный закон (перебор по блокам), сгруппированный по полуцелым интервалам; линия — те же вероятности по χ²_2. Наибольшее значение F = n(k − 1) = 4. P(F ≥ 4) = 0.1667, по χ² — 0.1353.

Столбики — число наборов из 3 цифр с суммой s (коэффициенты многочлена (1 + z + … + z⁹)^3). Счастливых номеров Σ N(s)² = 55 252, по формуле через производящую функцию — 55 252. Вероятность счастливого билета 0.05525 ≈ 1/18; по 50 000 случайных билетов — 0.05426.Билет 780783: суммы 15 и 18 — не счастливый. После «отражения» второй половины (цифра → 9 − цифра): 780216, сумма всех цифр 24 ≠ 27.

Вероятность когда-нибудь вернуться в 0: F(1) = 1 − |p − q| = 0.200 (по 10 000 блужданиям за 2000 шагов — 0.198). Вернуться сразу, на 2-м шаге: f₂ = 2pq = 0.180; к шагу 60 накопилось 0.200. Кто не вернулся сразу, тот почти наверняка уже не вернётся — «снос» уносит.

Синие — наблюдённые количества νⱼ, красные — ожидаемые npⱼ⁰. X²ₙ = Σ(νⱼ − npⱼ⁰)²/(npⱼ⁰) = 0,470 при 3 степенях свободы.Правый хвост (данные хуже гипотезы): α₀ = P(χ²_3 ≥ X²) = 0,925. Левый хвост (данные «слишком хорошие»): P(χ²_3 ≤ X²) = 0,075.Наименьшее ожидаемое количество npⱼ⁰ = 34,8 — правило npⱼ⁰ ≥ 5 выполнено.

400 нормальных выборок объёма 200, N = 10 равновероятных промежутков. Пунктир — функции распределения χ²_7 (левая) и χ²_9 (правая). Эмпирические функции распределения X̃²: параметры известны — среднее 8.75 (должно быть ≈ 9); ОМП по частотам — 6.83 (≈ 7); подставлены ξ̄ и S — 7.20: зажата между ними, как предсказали Чернов и Леман.

Тонкие линии — шары B₁ (ромб), B₂ (круг) и B∞ (квадрат). Жирная — B_p при p = 3,0. Чем больше p, тем сильнее «шар» раздувается к квадрату. Для точек A = (0, 0) и B = (3, 4): d₁ = 7, d₂ = 5, d∞ = 4, а сейчас d_p = 4,498.

Кружки — девушки, квадратики — юноши (данные модельные). Цвет — класс, найденный методом k-средних (k = 2) в евклидовой метрике. Оси нарисованы в одном масштабе — так, как их «видит» евклидово расстояние.Доля пар, разбитых неправильно (расстояние Хемминга между разбиениями): 0,0 %. Без нормировки результат зависит от того, в чём мерить вес: сожмёшь ось — классификация поедет.

Ребро, если dᵢⱼ ≤ τ = 0,60. Классы — связные компоненты графа (поиск в глубину, §9).Гистограмма всех dᵢⱼ (рис. 7). Хорошее τ лежит между «горбом» внутриклассовых и «горбом» межклассовых расстояний.Найдено классов: 8. Доля пар, разбитых не так, как задумано при моделировании: 4,9 %.

Квартическое ядро с R = 2,00, шаг поиска h = 0,1. Крестики — «дно ям», куда скатились объекты.Найдено классов: 2. Доля пар, разбитых не так, как задумано при моделировании: 7,8 %.

По вертикали — мера отдалённости в момент объединения. Красный пунктир — уровень разреза на 2 класса.Инверсий нет: уровни объединений только растут. Коэффициенты Ланса–Уильямса при n₀ = n₁ = n₂ = 1: C1 = 0,500, C2 = 0,500, C3 = 0,000, C4 = -0,500; C1 + C2 + C3 = 1,000. Условия теоремы Миллигана выполнены.

На каждом этапе объединяем только классы из V_δ — те, что входят в пары с ρ ≤ δ. Когда U_δ пустеет, порог поднимаем: δ′ = δ + шаг (но не меньше наименьшей из оставшихся мер). Новые классы получают номера 6, 7, …В памяти одновременно не больше 3 пар (против N₁ = 10 у обычной процедуры). При поиске минимумов перебрано 7 пар против Σ N_k = 20; плюс 2 полных прохода для построения U_δ в начале этапов. Дендрограмма совпадает с обычной процедурой.

Дендрограмма — метод Уорда. Для каждого k разрезаем её и считаем F = ȳ₁ (средний внутриклассовый разброс, делим на значение при k = 1) и G = 1/z̄₁ (обратная мера концентрации, при равных классах ровно k). Выбираем k с наименьшим Q = F/F(1) + λ·G.

Признаки нормированы по N3 (медиана и MAD) по всем 43 строкам рис. 16; μ_l и Σ_l заменены оценками максимального правдоподобия (Σ̂ с делителем n). Относим череп к закону с меньшим h.h₁ (собаки) = -2,94, h₂ (волки) = 39,67 → собака. Расстояние Бхаттачария B = 4,08, оценка α + β ≤ e^−B = 0,0169. Как в книге: h₁ = −2,94, h₂ = 39,7, B = 4,08, e^{−B} ≈ 0,017.Скользящий контроль: из 42 известных животных, классифицированных по моделям без них самих, ошибочно отнесено 2.Замечание 6 (собаки против волков, H₀: μ₁ = μ₂ при общей Σ): L = det W_int / det W_tot = 0,1764, F = 27,23 при (6, 35) степенях свободы, p = 8,2e-12; приближение Бартлетта χ² = 64,19, p = 6,3e-12.

Синие кружки — собаки, красные треугольники — волки, крестик — неизвестное животное. X: длина черепа, Y: длина верхнего карнивора. При X = 1, Y = 4 получается рис. 19.Разделенность γ = 1 − ΣL/ΣR (§8): по оси X — 0,663, по оси Y — 0,970. По всем признакам: 1: 0,66; 2: 0,67; 3: 0,75; 4: 0,97; 5: 0,90; 6: 0,83. Лучше всех разделяет признак 4 — длина карнивора: «бабушка, а почему у тебя такие большие зубы?»

При Σ₁ = Σ₂ = Σ разделяющая поверхность h₁ = h₂ — гиперплоскость aᵀ(2x − μ₁ − μ₂) = 0, a = Σ⁻¹(μ₁ − μ₂). Статистика Y = aᵀ(2X − μ₁ − μ₂) распределена как N(d, 4d) при H₁ (синяя) и N(−d, 4d) при H₂ (красная); граница — Y = 0.α = β = Φ(−√d/2) = 0,1587, α + β = 0,3173; оценка через расстояние Бхаттачария B = d/8: e^−B = 0,6065.

Пунктир — эллипс рассеяния xᵀΣ⁻¹x ≤ m + 2 = 4 для истинной Σ, сплошной — для выборочной Σ̂, отрезки — главные оси (полуоси ∝ √λ). Выборочные собственные значения λ̂₁ = 4,41, λ̂₂ = 0,63; на первую главную ось приходится 87,5 % разброса. Σ̂ = [[4,00; 1,18], [1,18; 1,04]], истинная Σ = [[4,00; 1,20], [1,20; 1,00]].

Матрица — корреляционная матрица собак и волков (рис. 3), старт e₀ = (1; 0,2; 0,3; …). Для λ1 каждый шаг: ортогонализация к уже найденным осям, умножение на A, нормировка. Ошибка убывает не медленнее геометрической прогрессии γⁱ с γ = |λ2/λ1| = 0,215: чем ближе соседние собственные значения, тем медленнее. Понадобилось шагов: 8; точное λ1 = 4,09997.

16 групп по 4 точки вблизи вершин правильного симплекса в ℝ¹⁵ (буква — номер группы). На первую главную компоненту приходится 8,8 % следа, на вторую — 8,2 %, на обе — лишь 17,0 %: группы на проекции наползают друг на друга. Метод Сэммона (старт с той же проекции, сопряжённые градиенты) снизил F₁ с 0,42 до 0,13, и группы разошлись. У Лагутина: 8,3 %, 7,6 % и F₁ от 0,44 до 0,13.

Старт из (−6/5; 1), минимум в (1; 1). Серые точки — линии уровня «серповидного ущелья». Красная ломаная — наискорейший спуск: шагов 1000, конец (0,913; 0,833), F = 0,0076. Синяя — сопряжённые градиенты: шагов 33, конец (1,000; 1,000), F = 3,3e-10. Спуск мечется поперёк дна оврага мелкими зигзагами, сопряжённые градиенты идут вдоль него.

2000 пар (X, Y) из двумерного нормального закона; у 580 строк значение Y стёрто независимо от значений. Заполнение средним сжимает разброс Y и занижает связь. Локальное заполнение (берём Y у ближайшей по X полной строки) сохраняет и распределение, и корреляцию.

Точный закон ρ_S при независимости (перебор всех 8! перестановок): симметричен относительно 0, Dρ_S = 1/(n − 1) = 0,1429. Корреляция ρ_S и τ по 1500 случайным перестановкам: 0,983, по формуле Кендэла и Стьюарта 2(n + 1)/√(2n(2n + 5)) = 0,982. Коэффициенты почти линейно связаны, хотя ρ_S и придаёт инверсиям веса (j − i).