§2. Правильный выбор модели: независимые или парные

При проверке гипотезы однородности двух наборов данных $x_1, \dots, x_n$ и $y_1, \dots, y_m$ важно понять, с каким из двух случаев мы имеем дело: двумя реализациями независимых между собой выборок или парными повторными наблюдениями.

Случай 1. Независимые выборки

Пример — влияние удобрения на размер растений. Здесь $x_1, \dots, x_n$ — размеры растений на грядке без удобрения, $y_1, \dots, y_m$ — на соседней грядке, где его применяли (пример 1 главы 8). Растения разные, никак не связаны, так что можно предположить независимость выборок. Формально это допущение

• Д4. Все компоненты случайного вектора $(X_1, \dots, X_n, Y_1, \dots, Y_m)$ независимы (§3 главы 1).

Случай 2. Парные наблюдения

Пример — эффективность лекарства по величине показателя (скажем, артериального давления). Здесь $x_1, \dots, x_n$ — значения показателя у каждого из $n$ больных до воздействия, а $y_1, \dots, y_n$ — после ($m = n$). Для каждого $i$ числам $x_i$ и $y_i$ в модели Д1–Д3 соответствуют величины $X_i$ и $Y_i$, которые нельзя считать независимыми: они относятся к одному и тому же человеку.

Смысл по-пацански: давление у гипертоника до лекарства высокое и после — скорее всего тоже повыше среднего. Он один и тот же человек. Сравнивать «всех до» со «всеми после», забыв, кто есть кто, — значит выкинуть самое ценное: каждый пациент служит контролем сам себе.

Чем это грозит

Методы для второго случая рассматриваются в главе 15. Их, конечно, можно применить и к независимым выборкам: отбросить при $m \ne n$ лишние наблюдения в одной из выборок (отбирая их случайно) и составить пары. Но при этом теряется важная информация о взаимной независимости, и чувствительность падает по сравнению с критериями этой главы.

Наоборот, применять критерии этой главы к парным данным — грубая методическая ошибка. Её нередко допускают неопытные прикладники, проверяя однородность первым попавшимся методом. Критерии главы 14 предполагают Д4, а в парных данных зависимость сидит в каждой паре.

Ниже рассмотрим три критерия однородности при допущениях Д1–Д4: Смирнова, Розенблатта и Уилкоксона.

Проверь себя