Глава 10. Задачи с разборами

С помощью критерия факторизации найди достаточную статистику для

а) равномерного распределения на отрезке $[\theta_1, \theta_2]$;

б) модели сдвига-масштаба показательного закона $F\!\left(\frac{x - \theta_1}{\theta_2}\right)$ с $F(x) = 1 - e^{-x}$ при $x > 0$.

Докажи, что экспоненциальному семейству принадлежат:

а) биномиальное распределение $f(x, \theta) = C_m^x\theta^x(1 - \theta)^{m-x}$, $x = 0, 1, \dots, m$ (в частности, при $m = 1$ — закон Бернулли);

б) гамма-распределение с неизвестным параметром $\theta$: $f(x, \theta) = \dfrac{\theta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\theta x}I_{\{x > 0\}}$ (при $\alpha = 1$ — показательный закон).

Пусть $\mathbf X$ — выборка из распределения Пуассона с неизвестным параметром $\theta > 0$: $f(x, \theta) = \theta^xe^{-\theta}/x!$, $x = 0, 1, 2, \dots$ Найди

а) распределение суммы $\xi + \eta$, где $\xi$ и $\eta$ — независимые пуассоновские величины с параметрами $\lambda$ и $\mu$ соответственно;

б) условное распределение $\mathbf X$ при условии $X_1 + \dots + X_n = m$.

Пусть величины $X_1, \dots, X_n$ выбраны случайно (с повторением) из множества $\{1, 2, \dots, N\}$. Значение $N$ неизвестно.

а) Докажи достаточность и найди распределение статистики $X_{(n)}$.

б) Укажи такую функцию $g$, чтобы статистика $g(X_{(n)})$ несмещённо оценивала значение $N$.

Элементы выборки имеют гамма-плотность из задачи 2 с $\alpha = 2$: $f(x, \theta) = \theta^2xe^{-\theta x}I_{\{x > 0\}}$.

а) Проверь несмещённость оценки $\hat\theta = 1/X_1$.

б) Улучши её с помощью достаточной статистики (теорема 3).

Рассмотрим информацию Фишера $I_{\boldsymbol\xi}(\theta) = \mathbf{M}\left[\frac{\partial}{\partial\theta}\ln f(\boldsymbol\xi, \theta)\right]^2$, введённую в §3 главы 9. Докажи, что для выборки $\mathbf X$ из произвольной дискретной модели

а) для любой статистики $\mathbf T$ верно неравенство $I_{\mathbf T(\mathbf X)}(\theta) \le I_{\mathbf X}(\theta)$ при всех $\theta$;

б) для достаточной статистики неравенство из п. а) превращается в равенство.

Пусть $\eta_1, \dots, \eta_n$ — координаты точек, взятых наугад из отрезка $[0, 1]$. Точки разбивают $[0, 1]$ на $n + 1$ частей, длины которых $\Delta_j$ называются равномерными спейсингами (§4 главы 4). Найди распределение наибольшего спейсинга $\Delta_{(n+1)}$ при помощи принципа включения-исключения из §5 и следующего результата Б. де Финетти: для произвольных $x_1 \ge 0, \dots, x_{n+1} \ge 0$

где $f_+ = \max\{0, f\}$.