§2. Критерий знаков: в скольких парах стало больше

Выполним следующие шаги.

1. Зададим уровень значимости $\alpha$ (§1 главы 12) — малую вероятность ошибочно отвергнуть верную гипотезу $H_0'$.
2. Положим $U_i = I_{\{Z_i > 0\}}$, $i = 1, \dots, n$.
3. В качестве статистики критерия знаков возьмём сумму $S = U_1 + \dots + U_n$ и подсчитаем её значение $s$ на реализациях $x_1, \dots, x_n$ и $y_1, \dots, y_n$.

Название простое: если приращение $z_i = y_i - x_i > 0$, это отмечают знаком «+», если $z_i < 0$ — знаком «−». $S$ — число плюсов.

Смысл по-пацански: не важно, на сколько стало лучше, — важно, у скольких. Если лекарство не действует, плюс и минус равновероятны, как орёл и решка. Девять «плюсов» из одиннадцати — подозрительно для монетки.

Малые выборки

При $H_0'$ каждое $U_i$ — честная монетка по Д6, так что $S$ имеет биномиальный закон с $p = 1/2$. При $n \le 15$ вычисляем фактический уровень значимости (§1 главы 12):

Если $\alpha_0 \le \alpha$, отвергаем гипотезу $H_0'$, иначе принимаем. Это та же монетка, что в §1 главы 12.

Большие выборки

Для $n > 15$ можно применить нормальную аппроксимацию стандартизованной статистики

Если $H_0'$ верна, по центральной предельной теореме (П6) распределение $S^*$ при $n \to \infty$ сходится к $\mathcal N(0, 1)$. Пусть $x_{1-\alpha}$ — квантиль закона $\mathcal N(0, 1)$ уровня $1 - \alpha$, $s^*$ — наблюдённое значение $S^*$. Если $s^* \ge x_{1-\alpha}$, отвергаем $H_0'$, иначе принимаем.

Поправка. Качество приближения дискретного биномиального закона непрерывным нормальным можно значительно улучшить поправкой на непрерывность. Рассмотрим «подправленную» статистику

Сдвиг влево на 0,5 позволяет точнее аппроксимировать сумму площадей прямоугольников (столбиков биномиального закона начиная с $s$) площадью под графиком правого «хвоста» нормальной плотности. Столбик над точкой $s$ занимает отрезок $[s - 0{,}5;\ s + 0{,}5]$, поэтому интеграл надо начинать с $s - 0{,}5$.

Совпадения, оценка, интервал

Совпадения. Если среди $Z_i$ встречаются нули, их надо отбросить и уменьшить $n$ до числа ненулевых $Z_i$.

Оценка параметра. Когда $H_0'$ отвергнута, интересна величина сдвига $\theta$. Её оценкой можно взять выборочную медиану приращений $\mathrm{MED}\{Z_i,\ i = 1, \dots, n\}$ (§2 главы 7).

Доверительный интервал. Определим $k_\alpha$ как наибольшее число слагаемых, при котором

Тогда пара порядковых статистик $(Z_{(k_\alpha+1)}, Z_{(n-k_\alpha)})$ (§4 главы 4) образует доверительный интервал для $\theta$ с коэффициентом доверия не меньше $1 - 2\alpha$ (§1 главы 11). При большом $n$ значение $k_\alpha$ с учётом поправки на непрерывность приближённо равно целой части числа $n/2 - 0{,}5 - x_{1-\alpha}\sqrt{n/4}$.

Пример 1. Времена реакции

Числа $x_i$ и $y_i$ — времена реакции $i$-го испытуемого (в миллисекундах) на световой и звуковой сигналы, $z_i = y_i - x_i$:

Поскольку $z_{10} = 0$, отбросим это наблюдение, уменьшив $n$ до 11. Статистика знаков $s = 9$. По формуле (1)

так что на уровне $\alpha \ge 3{,}3\,\%$ гипотеза $H_0'\colon \theta = 0$ отвергается: на звук люди реагируют медленнее.

Хотя $n < 15$, для сравнения подсчитаем $\tilde S^*$ по формуле (2): $1{,}809$. По таблице T2 это уровень значимости 3,5 % — очень близко к точным 3,3 %. Упорядочив $z_i$, получаем оценку сдвига $\hat\theta = \mathrm{MED}\{z_1, \dots, z_9, z_{11}, z_{12}\} = 19$. Наконец, для $\alpha = 0{,}05$ из (3) находим $k_\alpha = 2$: $2^{-11}(1 + 11 + 55) = 0{,}033 \le 0{,}05$, а с третьим слагаемым уже $0{,}113$. Это даёт интервал $(z_{(3)}, z_{(9)}) = (7, 35)$ с коэффициентом доверия 90 % (на самом деле $1 - 2 \cdot 0{,}033 = 93{,}5\,\%$ — дискретность играет в нашу пользу).

Переключись на «Смоделировать» и посмотри, как ведёт себя критерий при разных законах ошибок и сдвигах. Таблица там же — со знаковыми рангами из §3.

Комментарии

1. Если потребовать, чтобы все $\varepsilon_i$ в Д6 имели одинаковое распределение с единственной нулевой медианой, то по закону больших чисел (П6) критерий знаков будет состоятельным против $H_3'\colon \theta > 0$.
2. Против альтернативы $H_3''\colon \theta < 0$ достаточно поменять местами выборки $X$ и $Y$.
3. Как оценка $\mathrm{MED}$ связана со статистикой $S$? Естественно взять такой сдвиг $\theta'$, чтобы набор $Z_i' = Z_i - \theta'$ выглядел как выборка с нулевой медианой. Для такой выборки $S$ имеет биномиальный закон, симметричный относительно $n/2$ (§1 главы 5). Приходим к уравнению

Когда $\theta'$ проходит через $\mathrm{MED}$, происходит «перескок» через уровень $n/2$. 4. Нетрудно убедиться, что интервал $(Z_{(k_\alpha+1)}, Z_{(n-k_\alpha)})$ получается методом 1 из §3 главы 11, применённым к функции $g(\mathbf z, \theta) = \sum I_{\{z_i > \theta\}}$. 5. Ходжес и Леман показали, что при оценке сдвига медианой лучше брать выборку чётного размера $n = 2k$: выборочная медиана для выборки размера $2k + 1$ имеет ту же самую точность. Лишнее наблюдение медиане не помогает.

Проверим числа примера 1 полным перебором:

Проверь себя