§2. «Правило трёх сигм»: насколько жребию можно верить

Оценку $\hat I_n$ мы получили, она сходится к интегралу. Но насколько она точна при конкретном $n$? Сколько точек кинуть, чтобы не промахнуться? Ответ даёт центральная предельная теорема — и выводит нас на знаменитое правило трёх сигм.

Погрешность через ЦПТ

Ошибка метода — это $\hat I_n - I$. По центральной предельной теореме (она про суммы независимых величин) отклонение среднего ведёт себя так:

Разберём, что тут написано:

• $\mathbf{D}\xi$ — дисперсия величины $\varphi(\eta)$ (разброс значений функции), число фиксированное.
• Слева — нормированная ошибка. ЦПТ говорит: при больших $n$ она ведёт себя как стандартная нормальная величина $Z$ (знак $\xrightarrow{d}$ — «сходится по распределению»).
• Главный вывод, если вытащить $\hat I_n - I$: ошибка по порядку равна $\sqrt{\mathbf{D}\xi}\,/\sqrt{n}$. То есть погрешность падает как $1/\sqrt{n}$ — медленнее, чем у прямоугольников, но зато работает в любой размерности.

Чтобы превратить это в конкретную гарантию точности, надо разобраться с нормальным распределением — оно тут главный инструмент.

Нормальное распределение в лицо

Нормальное (оно же гауссово) распределение $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ — самое знаменитое в статистике, та самая «колоколообразная» кривая. Его плотность:

Не пугайся формулы, важны два параметра и их наглядный смысл:

• $\mu = \mathbf{M}X$ — центр, где колокол самый высокий. Прямая $x = \mu$ — ось симметрии (слева и справа всё зеркально).
• $\sigma$ (сигма) — разброс, ширина колокола. Точки $\mu \pm \sigma$ — это перегибы кривой (где она меняет выпуклость). Малая $\sigma$ — узкий острый пик, большая — размазанный широкий.

Собственно правило трёх сигм

А вот и ударная часть. Посчитаем, с какой вероятностью нормальная величина попадёт в полосу вокруг центра шириной в несколько сигм:

Последняя строчка и есть правило трёх сигм: нормальная величина $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ попадает в отрезок $[\mu - 3\sigma,\ \mu + 3\sigma]$ с вероятностью $0{,}997$ — практически гарантированно. Выход за три сигмы — это редкое ЧП, три случая из тысячи.

Покрути виджет: переключай ширину полосы и смотри, как растёт захваченная вероятность:

По-дворовому: $\mu$ — это где основная движуха, $\sigma$ — насколько широко она расползается. В пределах одной сигмы сидит большинство (две трети), в пределах трёх — почитай вообще все. Если кто-то вылетел за три сигмы — это не рядовой случай, а что-то из ряда вон.

Возвращаемся к точности Монте-Карло

Теперь приложим правило трёх сигм к ошибке метода. Раз нормированная ошибка ведёт себя как $Z$, то с вероятностью около $0{,}997$ она не вылезет за три сигмы:

Вот тебе честная гарантия точности жребия. И отсюда важное практическое следствие: чтобы уменьшить ошибку вдвое, нужно взять в четыре раза больше точек (потому что в знаменателе $\sqrt{n}$). Монте-Карло щедр на простоту, но прожорлив на точность — за каждый новый знак после запятой платишь сотней-тысячей новых бросков.

Проверь себя