Глава 15. Задачи с разборами

Докажите, что при отсутствии нулевых значений и совпадений среди величин $|Z_i|$ для статистики знаковых рангов $T$ (§3) имеет место представление

Проверьте, что для всех $n$ матрица $\boldsymbol\Sigma = \|\sigma_{ij}\|_{n\times n}$, где $\sigma_{ij} = 1$ при $j = i$, $\rho$ при $j = i \pm 1$ и $0$ в остальных случаях, положительно определена при $|\rho| \le 1/2$.

Указание. Разложите главный минор порядка $n$ сначала по первой строке, затем по первому столбцу — получится рекуррентная формула.

Выведите формулу (9) из примера 3.

Указание. Запишите плотность нормального вектора $(Z_1, Z_2)$ (П9) и перейдите к полярным координатам.

Убедитесь, что при выполнении условий Д6–Д7 случайные векторы $\mathbf U = (U_1, \dots, U_n)$ и $\mathbf R = (R_1, \dots, R_n)$, определённые при описании критерия знаковых рангов, независимы.

Определим антиранг $A_i$ как такой номер, что $|Z_{A_i}| = |Z|_{(i)}$ (то есть $A_i$ — индекс того наблюдения, которое $i$-е по абсолютной величине). Положим $W_i = I_{\{Z_{A_i} > 0\}}$. Докажите, что при гипотезе $H_0'$ и условиях Д6–Д7 величины $W_1, \dots, W_n$ образуют схему Бернулли с $p = 1/2$.

Используя представление $T = \sum iW_i$, с помощью теорем Линдеберга (П6) и Лебега (П5) установите при справедливости $H_0'$ и условиях Д6–Д7 сходимость распределения $T^* = (T - \mathbf MT)/\sqrt{\mathbf DT}$ к закону $\mathcal N(0, 1)$.

Проверьте формулу для $\mu_{m,n}$ из соотношений (11).

Указание. Используйте представление (10).