Глава 8. Симметричные распределения

Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство.

— Г. Вейль

В главе 7 мы увидели, что лучшая оценка центра зависит от того, какие у данных хвосты. На нормальном законе выигрывает среднее, на Лапласе и засорённых данных — медиана, на Коши среднее вообще бесполезно. Но в жизни никто не скажет тебе заранее, какой закон у данных. Нужна оценка, которая неплохо работает на всех разумных законах сразу и не боится выбросов — пары-тройки диких значений от сбоя прибора или опечатки.

Такие оценки называют робастными (от англ. robust — крепкий). В этой главе их две: усечённое среднее и медиана средних Уолша. Вторая — настоящая находка: на нормальном законе теряет всего 4,5 % эффективности, а на любом симметричном — не больше 14 %.

Параграфы

• §1. Классификация методов статистики — параметрические, робастные и непараметрические методы; класс симметричных законов и пример «контроль — обработка».
• §2. Усечённое среднее — как судьи в спорте: выкинуть крайние оценки и усреднить остальное.
• §3. Медиана средних Уолша — оценка, которая почти не уступает среднему и не боится почти трети выбросов.
• §4. Робастность — откуда берутся выбросы, пример Тьюки и асимптотическая толерантность.

Практика

• Задачи с разборами
• Контрольные вопросы

Что уносим из главы

Эффективность и устойчивость тянут в разные стороны: среднее точное, но ломается от одного выброса; медиана выдерживает почти половину мусора, но на чистых данных теряет 36 %. Хорошая робастная оценка — компромисс: чуть-чуть точности в обмен на защиту. И маленькое изменение модели (пара процентов засорения) может перевернуть выводы о том, какая оценка лучше.