§5. Устойчивые законы: на всё свои законы есть

В определении асимптотической нормальности участвуют константы: центрирующие $a_n$ и масштабирующие $b_n > 0$. Возникает вопрос: нельзя ли подобрать другие $a'_n$ и $b'_n$ так, чтобы $(T_n - a'_n)/b'_n$ сходилось к невырожденному закону, отличному от нормального? (Закон вырожден, если величина с вероятностью 1 равна константе.)

Предельный закон один с точностью до сдвига и масштаба

Лемма 2. Пусть $(T_n - a_n)/b_n \xrightarrow{d} \xi$ и $(T_n - a'_n)/b'_n \xrightarrow{d} \xi'$, причём обе величины $\xi$ и $\xi'$ имеют невырожденное распределение. Тогда существуют такие константы $a$ и $b > 0$, что $b'_n/b_n \to b$, $(a'_n - a_n)/b_n \to a$ и $\xi' \sim a + b\xi$.

То есть невырожденный предельный закон определяется однозначно с точностью до сдвига и растяжения. Если с одними константами получился колокол, с другими получится тот же колокол, только сдвинутый и растянутый. Ответ на вопрос — нет.

Смысл по-пацански: перевёл рубли в доллары и сдвинул ноль — график тот же. Форму закона сменой линейки не поменяешь.

Какие бывают пределы у сумм

В §2 главы 4 для максимумов $(X_{(n)} - a_n)/b_n$ мы получили три типа пределов — законы экстремальных значений. Оказывается, и для сумм $S_n = X_1 + \dots + X_n$ независимых одинаково распределённых величин можно полностью описать класс возможных пределов $(S_n - a_n)/b_n$. Эти законы (и только они) обладают свойством устойчивости.

Определение. Невырожденное распределение $F$ устойчиво, если для любых $a_1, b_1 > 0$ и $a_2, b_2 > 0$ найдутся $a$ и $b > 0$, такие что

$$F(a_1 + b_1 x) * F(a_2 + b_2 x) = F(a + bx).$$

Здесь звёздочка — свёртка, то есть закон суммы независимых величин. Иными словами, при сложении независимых величин с устойчивым законом получается снова тот же закон, только с другими параметрами сдвига и масштаба.

Нормальный закон устойчив: если $X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$ и $Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$ независимы, то $X + Y \sim N(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$. Коши тоже — мы видели в §1, что среднее из $n$ наблюдений Коши снова Коши.

Представление Леви — Хинчина

Согласно теореме Леви — Хинчина, характеристические функции устойчивых законов (с точностью до сдвига и масштаба) имеют вид

где $0 < \alpha \le 2$, $-1 \le \beta \le 1$, а

По кирпичикам:

• $\alpha$ — показатель. Он отвечает за хвосты и за то, как растёт сумма: $S_n$ имеет порядок $n^{1/\alpha}$;
• $\beta$ — асимметрия: при $\beta = 0$ закон симметричен.

Явный вид плотности известен только для трёх случаев:

• нормальный: $\alpha = 2$, $\beta = 0$, $\psi(t) = e^{-t^2}$ (это $N(0, 2)$);
• Коши: $\alpha = 1$, $\beta = 0$, $\psi(t) = e^{-|t|}$;
• закон Леви: $\alpha = \tfrac12$, $\beta = \pm 1$, с плотностями

Функция распределения $F^+$ закона Леви выражается через нормальную: $F^+(x) = 2\bigl(1 - \Phi(1/\sqrt x)\bigr)$ при $x > 0$. Иначе говоря, если $Z \sim N(0,1)$, то $1/Z^2$ имеет закон $F^+$. Проверим: $\mathbf{P}(1/Z^2 \le x) = \mathbf{P}(|Z| \ge 1/\sqrt x) = 2(1 - \Phi(1/\sqrt x))$.

Масштаб сумм. Для симметричного устойчивого закона с показателем $\alpha$ сумма $n$ копий распределена как $n^{1/\alpha} X_1$. Для нормального это знакомое $\sqrt n$, для Коши — $n$ (поэтому $\bar X = S_n/n$ снова Коши), для Леви — $n^2$.

Возвраты блуждания

Закон $F^+$ возникает в задаче о частоте возвращений в 0 симметричного случайного блуждания $S_k = X_1 + \dots + X_k$, где $X_i$ независимы и $\mathbf{P}(X_i = -1) = \mathbf{P}(X_i = 1) = \tfrac12$. Обозначим $Z_n$ — время (номер шага) до $n$-го возвращения в 0.

$Z_n$ — сумма времён между последовательными возвращениями. Интуитивно ясно, что эти времена независимы и одинаково распределены, значит, предельный закон для $Z_n$ должен быть устойчивым. Доказано, что

Иначе говоря, число возвращений в 0 растёт не пропорционально числу шагов $n$, а как $\sqrt n$. Это связано с тем, что $\mathbf{M}Z_1 = \infty$, и закон больших чисел к сумме величин с таким распределением неприменим.

Смысл по-пацански: два одинаково сильных игрока бросают монетку. Кажется, счёт должен постоянно проходить через ничью. На деле ничьи случаются всё реже: за миллион бросков их порядка тысячи, а не сотен тысяч. Это та же кривая справедливость, что и в арксинус-законе из главы 5.

Гравитационное поле звёзд

Пример 3. В шаре радиуса $r$ с центром в начале координат наудачу расположены $n$ звёзд единичной массы. Пусть $X_1, \dots, X_n$ — $x$-компоненты гравитационных сил, которые отдельные звёзды создают в центре шара, и $S_n = X_1 + \dots + X_n$. Если $r \to \infty$ и $n \to \infty$ так, что плотность звёзд $\frac43\pi r^3/n \to \lambda$ постоянна, то распределение $S_n$ стремится (с точностью до масштаба) к устойчивому закону с $\alpha = \tfrac32$, $\beta = 0$ — распределению Хольцмарка. Тяжёлый хвост тут понятен: сила растёт как $1/d^2$, и одна случайно близкая звезда может дать огромный вклад.

Пощупай руками

Режим «Суммы»: складываем $n$ копий и делим на $n^{1/\alpha}$. Для устойчивых законов гистограмма ложится на ту же плотность при любом $n$ — хоть 1, хоть 200. Переключи масштаб на $\sqrt n$ у Коши или Леви — гистограмма расползётся, потому что ЦПТ тут не работает. Равномерный закон для контраста: он не устойчив, при $n = 1$ это полка, а к $n \approx 5$ сумма уже нормальная.

Режим «Возвраты блуждания»: гистограмма $Z_n / n^2$ против плотности Леви.

Проверь себя