Глава 23. Многомерные модели сдвига

В наше время накоплено огромное количество знаний, достойных изучения. Скоро наши способности будут слишком слабы, а жизнь — слишком коротка, чтобы усвоить хотя бы одну только наиболее полезную часть этих знаний. К нашим услугам полное изобилие богатств, но, восприняв их, мы должны снова отбрасывать многое, как бесполезный хлам. Было бы лучше иногда не обременять себя им.

— И. Кант

Кто не понимает ничего, кроме химии, тот и ее понимает недостаточно.

— Г. Лихтенберг

В главах 14 и 15 мы проверяли сдвиг одного признака: давление до и после лекарства, время реакции в двух группах. Но в жизни объект почти всегда меряют по нескольким признакам сразу: у студента — баллы по двум частям теста, у пациента — верхнее и нижнее давление, у больного мигренью — длительность и частота приступов. В этой главе одно- и двухвыборочные ранговые критерии из гл. 14 и 15 обобщаются на случай, когда наблюдения — $p$-мерные векторы.

Смысл по-пацански: проверять каждый признак по отдельности — всё равно что разглядывать пацана по частям: рост нормальный, плечи нормальные, а что он весь целиком на голову выше остальных — не заметил. Многомерный критерий смотрит на всю картину сразу — и на сами признаки, и на то, как они связаны.

В этой главе:

• стратегия построения критериев: центрированная векторная статистика → асимптотическая нормальность → оценка ковариаций → квадратичная форма с законом $\chi^2_p$;
• многомерный критерий знаков и пример, где он ловит сдвиг, невидимый по каждой оси отдельно;
• многомерный критерий знаковых рангов Уилкоксона для центрально-симметричных распределений;
• критерий Хотеллинга для нормальной модели — инвариантный к линейным преобразованиям, но беззащитный перед выбросами;
• двухвыборочный многомерный критерий Уилкоксона — Манна — Уитни и детективная история о фальсифицированных медицинских данных.

Параграфы

• §1. Стратегия построения критериев — общий план: от вектора статистик к $\chi^2_p$.
• §2. Одновыборочная модель — знаки, знаковые ранги, Хотеллинг.
• §3. Двухвыборочная модель — ранговые суммы и пример с мигренями.

(Задач и контрольных вопросов к этой главе у Лагутина нет — их заменяют виджеты и «Проверь себя» в параграфах.)

Опечатки книги, найденные по дороге

Мы, как всегда, пересчитали все числа Лагутина в коде. Нашлись три ошибки, о каждой сказано в своём параграфе:

• пример 1: уровень одномерного критерия знаков для $Q$ равен $0{,}067$, а не $0{,}069$ (на вывод не влияет);
• пример 2: в таблице рис. 3 для $X = 118$ знаковый ранг напечатан как $-8$ вместо $-1$; отсюда неверные $T_1$, $\hat v_{12}$ и $T^*$ (правильно $T^* \approx 8{,}79$; вывод тот же);
• пример 4: в таблице рис. 4 испорчен один столбец и потеряно по строке в каждой группе; мы восстановили таблицу так, что сходятся все числа книги.

Что уносим из главы

Многомерный критерий — не «несколько одномерных под одной крышей»: он учитывает связи между признаками и потому может заметить сдвиг, который по каждой оси отдельно не значим. Ранговые и знаковые критерии устойчивы к выбросам и не требуют нормальности, но зависят от выбора осей. Критерий Хотеллинга не зависит от осей, но верит каждому выбросу. Прежде чем выбирать критерий — посмотри на диаграмму рассеяния.

Смысл по-пацански: собери улики по всем признакам в один вектор, «раскрути» шум до круглого и померь расстояние — вот и весь рецепт. Ранги и знаки не боятся выбросов, Хотеллинг — поворотов осей. А любую цифру из книги пересчитай: в этой главе книга ошиблась трижды.