Глава 5. Задачи с разборами

Тут добиваем то, что в параграфах кинули на потом: где у порядковой статистики горб, откуда берётся бета-закон и сколько реально надо партий, чтобы $-1/12$ превратилось в реальные бабки. Сначала решай сам, разбор — потом.

Найди моду (точку максимума плотности) порядковой статистики $\eta_{(k)}$ равномерной выборки объёма $n$ , где $1 < k < n$ . Сравни её со средним $\mathbf{M}\eta_{(k)} = \dfrac{k}{n+1}$ . Что из них больше при $k < \dfrac{n+1}{2}$ ?

В §2 была смесь: монеткой решаешь, выдать ровно 1 или равномерное число на $[0,1]$ . Обозначим её $\tilde\xi$ . Найди $\mathbf{M}\tilde\xi$ .

Пусть $X$ и $Y$ независимы, $X \sim \Gamma(r, \lambda)$ , $Y \sim \Gamma(s, \lambda)$ , то есть

p_X(x) = \frac{\lambda^r}{\Gamma(r)}\, x^{r-1}e^{-\lambda x}, \qquad p_Y(y) = \frac{\lambda^s}{\Gamma(s)}\, y^{s-1}e^{-\lambda y}, \qquad x, y > 0.

Докажи, что $U = \dfrac{X}{X + Y}$ имеет бета-распределение $B(r, s)$ .

Пусть $\eta_{(k)}$ — $k$ -я порядковая статистика равномерной выборки объёма $n$ , а $k$ фиксировано. Докажи, что при $n \to \infty$

n\,\eta_{(k)} \xrightarrow{d} \Gamma(k, 1),

то есть в пределе получается закон суммы $k$ независимых показательных величин с параметром 1.

В игре из §4 соперник играет оптимально, $p_2 = \tfrac{7}{12}$ , а ты — честной монеткой, $p_1 = \tfrac12$ . Оцени, сколько партий $n$ нужно сопернику, чтобы с вероятностью $0{,}975$ быть в плюсе хотя бы на 20.

Глава 5. Задачи с разборами

Задача 1

Задача 2

Задача 3⭐

Задача 4⭐

Задача 5⭐