Глава 6. Задачи с разборами

Докажи состоятельность оценки $\hat\theta_1 = X_{(n)} = \max\{X_1, \dots, X_n\}$:

а) прямо по определению;

б) с помощью леммы из §2.

Для той же модели проверь, что оценка $\hat\theta_4 = (n+1)\,X_{(1)}$, где $X_{(1)} = \min\{X_1, \dots, X_n\}$:

а) не имеет смещения;

б) не является состоятельной.

Придумай несмещённую и состоятельную оценку параметра $\theta$ в модели сдвига показательного распределения:

Вычисли смещение, дисперсию и квадратичный риск минимаксной оценки Ходжеса — Лемана в схеме Бернулли

Для схемы Бернулли при $n = 3$ нарисуй график абсолютного риска частоты $R_{\bar X}(\theta) = \mathbf{M}|\bar X - \theta|$. Будет ли эта функция

а) непрерывной,

б) гладкой?

Для показательной выборки $X_1, \dots, X_n$ из примера 1 §2 ($F_\theta(x) = 1 - e^{-\theta x}$) положим $S_n = X_1 + \dots + X_n$. Установи несмещённость оценок:

а) $\hat\theta = \dfrac{n-1}{S_n}$ для параметра $\theta$;

б) $\hat\varphi = \left(1 - \dfrac{t}{S_n}\right)^{n-1} I_{\{S_n > t\}}$ для функции надёжности $\varphi(\theta) = \mathbf{P}(X_1 > t) = e^{-\theta t}$, где $t > 0$.

Для модели из задачи 1 сравни дисперсии несмещённых оценок

Указание. Найди совместную функцию распределения $F(x, y)$ и плотность $p(x, y)$ вектора $(X_{(1)}, X_{(n)})$ и вычисли $\mathbf{M}X_{(1)}X_{(n)} = \iint xy\,p(x,y)\,dx\,dy$.