§1. Медианы известны или равны

Статистическая модель

Имеется $N = n + m$ наблюдений $X_1, \dots, X_n$, $Y_1, \dots, Y_m$:

где $\mu$ — неизвестная общая медиана распределения наблюдений, $\sigma_1 > 0$ и $\sigma_2 > 0$ — неизвестные параметры масштаба, $\varepsilon_i$ и $\varepsilon_j'$ — случайные ошибки.

Допущения

Д1. Все ошибки $\{\varepsilon_i, \varepsilon_j'\}$ независимы.

Д2. Все $\{\varepsilon_i, \varepsilon_j'\}$ имеют одинаковое непрерывное (неизвестное) распределение, медиана (см. §2 гл. 7) которого равна 0.

Для проверки гипотезы $H_0\colon \sigma_1 = \sigma_2$ применяется следующий критерий.

Смысл по-пацански: оба района стоят «вокруг одного столба» $\mu$ — центр общий. Различаться может только то, насколько широко пацаны разбрелись от столба. Модель так и говорит: ошибки одинаковые по форме, а растянуты в $\sigma_1$ и $\sigma_2$ раз.

Свободный от распределения ранговый критерий Ансари — Брэдли

1. Упорядочить $N$ наблюдений от меньшего к большему.
2. Наименьшему и наибольшему из наблюдений присвоить ранг 1, второму и предпоследнему по величине присвоить ранг 2 и т. д. Если $N$ чётно, то расположение рангов будет $1, 2, \dots, N/2, N/2, \dots, 2, 1$; если же $N$ нечётно, то расположение рангов будет $1, 2, \dots, (N-1)/2, (N+1)/2, (N-1)/2, \dots, 2, 1$.
3. Обозначив через $S_j$ ранг $Y_j$ в указанной ранжировке, вычислить значение статистики критерия Ансари — Брэдли

т. е. сумму рангов, относящихся к $Y_1, \dots, Y_m$.

По кирпичикам: ранг на месте $r$ из $N$ равен $\min(r, N + 1 - r)$ — расстояние до ближайшего края ряда. Маленький ранг — «крайний», большой — «серединный». Сумма $Z$ отвечает на вопрос: насколько игреки жмутся к середине общего ряда.

Поясним, почему слишком большие (или слишком малые) значения $Z$ противоречат $H_0$. Пусть, например, $\sigma_1 < \sigma_2$. Тогда значения $Y$ будут проявлять склонность к большему рассеянию (разбросу), чем значения $X$. Поэтому при ранжировке (по схеме 2-го шага метода) наблюдения $Y_j$, в большинстве своём, будут иметь малые ранги, а $X_i$ — большие. В результате величина $Z$ окажется малой. (Примером крайнего случая служит такое расположение представителей $X$ и $Y$ в упорядоченной объединённой выборке: $YYXXXYY$.)

Смысл по-пацански: выстрой всех пацанов обоих районов по росту. Если чужие — сплошь шкеты и шкафы, они окажутся по краям строя, а наши — в середине. Ансари и Брэдли просто считают, сколько чужих стоит по краям.

Малые выборки

При справедливости гипотезы $H_0$ вероятность каждого из $C_N^m$ возможных размещений $Y$-ов по $N$ местам одинакова. Благодаря этому можно найти распределение $Z$ при нулевой гипотезе.

Например, для $n = 2$ и $m = 2$ имеется $C_4^2 = 6$ размещений: $XXYY$, $XYXY$, $XYYX$, $YXXY$, $YXYX$, $YYXX$. Ранги мест — $1, 2, 2, 1$, и набор соответствующих значений $Z$ таков: $(3, 3, 4, 2, 3, 3)$. Отсюда, скажем, находим, что $\mathsf P(Z \ge 4) = 1/6$ при $H_0$.

Критические значения статистики $Z$ для $n, m \le 10$ приведены в табл. A.6 книги Холлендера и Вулфа; в виджете ниже точный закон считается перебором для любых $n, m \le 12$.

По кирпичикам: $Z = 4 + 3 + 2 + 1 = 10$ — и это значение не зависит от того, насколько сильно разбросаны $X$ и $Y$: шкала разброса тут вообще не видна, виден только сдвиг. Вот почему критерий Ансари — Брэдли можно применять лишь тогда, когда совокупности не сдвинуты друг относительно друга (комментарий 3 ниже).

Большие выборки

Если гипотеза $H_0$ верна, то статистика

асимптотически (при $\min\{n, m\} \to \infty$) распределена по стандартному нормальному закону $\mathcal N(0, 1)$. Математическое ожидание и дисперсия в (1) задаются формулами

По кирпичикам — откуда $\mathsf MZ$: при $H_0$ каждый игрек с равными шансами занимает любое из $N$ мест, так что $\mathsf MZ = m\cdot\bar a$, где $\bar a$ — средний ранг места. При чётном $N$ ранги $1, \dots, N/2$ встречаются по два раза: $\bar a = \frac2N\cdot\frac{(N/2)(N/2+1)}2 = \frac{N+2}4$. При нечётном аналогично выходит $\bar a = (N+1)^2/(4N)$.

Обозначим через $x_{1-\alpha}$ квантиль уровня $(1 - \alpha)$ закона $\mathcal N(0, 1)$ (§3 гл. 7), а через $z^*$ — наблюдаемое значение статистики $Z^*$.

• Односторонний критерий приближённого уровня $\alpha$ для проверки гипотезы $H_0$ против альтернативы $H_1\colon \sigma_1 < \sigma_2$ таков: если $z^* \le -x_{1-\alpha}$, то отвергаем гипотезу $H_0$, иначе — принимаем.
• Односторонний критерий приближённого уровня $\alpha$ для проверки гипотезы $H_0$ против альтернативы $H_2\colon \sigma_1 > \sigma_2$ таков: если $z^* \ge x_{1-\alpha}$, то отвергаем гипотезу $H_0$, иначе — принимаем.

Смысл по-пацански: игреки разбросаны шире ($\sigma_2$ больше) — они по краям строя, ранги мелкие, $z^*$ сильно меньше нуля. Игреки кучнее — они в середине, ранги крупные, $z^*$ сильно больше нуля.

Совпадения

Если среди $N$ наблюдений есть одинаковые, то для подсчёта $Z$ надо использовать средние ранги. Для больших выборок следует также заменить $\mathsf DZ$ в формуле (1) на величину

Здесь $g$ — число групп совпадений среди $N$ наблюдений, $l_k$ — количество элементов в $k$-й группе, $\overline R_k$ — средний ранг наблюдений в $k$-й группе. Не совпадающие с другими наблюдения рассматриваются как группы размера 1.

По кирпичикам: это частный случай общей формулы для перестановочной дисперсии суммы $m$ меток $a_1, \dots, a_N$, выбранных случайно без возвращения: $\frac{nm}{N(N-1)}\bigl[\sum a_t^2 - (\sum a_t)^2/N\bigr]$. Подставь $\sum a_t^2 = \sum_kl_k\overline R_k^2$ и $\sum a_t = N\cdot\mathsf MZ/m$ — получишь формулы выше. Совпадения «сглаживают» метки, и дисперсия уменьшается.

Пример 1. Длительность приступов мигрени

Продолжим анализ данных из примера 4 гл. 23. Напомним, что критерий ранговых сумм Уилкоксона — Манна — Уитни не позволил обнаружить сдвига по компоненте $X$ (длительность приступа) наблюдений в группе I относительно наблюдений в группе II. Поэтому можно предположить, что выборки имеют одинаковую медиану. Исходя из этого допущения, попробуем обнаружить различие в рассеянии выборок с помощью критерия Ансари — Брэдли.

Для вычислений удобно использовать такие операции программы Excel, как «Сортировка» и «Фильтр». В результате их применения (для $n = 41$ и $m = 58$, данные — восстановленная таблица гл. 23) получим следующие значения: $z = 1784{,}2$, $\mathsf MZ = 1464{,}6$ и $\mathsf DZ = 4955{,}7$ (с учётом совпадений — $4616{,}7$; у Лагутина напечатано $4623{,}7$), $z^* = 4{,}7$. Эта величина значимо велика даже на уровне $\alpha = 0{,}001$ (см. табл. T2). Таким образом, приходим к заключению, что выборки нельзя считать однородными, поскольку у наблюдений в группе I рассеяние по компоненте $X$ значимо больше.

По кирпичикам: $N = 99$ нечётно, $\mathsf MZ = 58\cdot100^2/(4\cdot99) \approx 1464{,}6$. Длительности округлены до получаса, поэтому совпадений масса (всего 15 различных значений на 99 больных) — поправка заметна: без неё $z^* = 4{,}54$, с ней $4{,}70$.

Смысл по-пацански: в гл. 23 ранговый критерий сдвига по длительности промолчал — и правильно: центр у групп один. А вот «ширина» разная: у настоящих больных приступы и по часу, и по двенадцать, у «размноженных» — всё около трёх-четырёх часов. Ансари — Брэдли это и показал.

Пересчитай сам:

Комментарии

1. Точный закон $Z$ при $H_0$ получается перебором всех $C_N^m$ равновероятных размещений — как в примере с $n = m = 2$ выше.

2. Во многих двухвыборочных ситуациях интересно выявить различие совокупностей в сдвиге или разбросе. Одно из решений — применение критериев, предназначенных для более общих альтернатив (например, критерия Смирнова или критерия Розенблатта из гл. 14). Другой путь — совместное применение двух критериев: одного для сдвига (например, критерия Уилкоксона — Манна — Уитни из §5 гл. 14), другого — для масштаба (скажем, критерия Ансари — Брэдли). Р. Рэндлс и Р. Хогг в 1971 г. показали, что при выполнении $H_0$ статистики последних двух критериев асимптотически независимы. Отсюда следует, что если мы применяем критерий Уилкоксона — Манна — Уитни на уровне $\alpha_1$ и критерий Ансари — Брэдли на уровне $\alpha_2$, то вероятность отклонить гипотезу об идентичности совокупностей $X$ и $Y$ хотя бы одним из критериев будет приближённо равна $\alpha_1 + \alpha_2 - \alpha_1\alpha_2$.

По кирпичикам: для независимых событий $\mathsf P(A \cup B) = \mathsf P(A) + \mathsf P(B) - \mathsf P(A)\mathsf P(B)$. При $\alpha_1 = \alpha_2 = 0{,}05$ это $0{,}0975$ — почти вдвое больше, чем у каждого критерия по отдельности. Хочешь общий уровень 5 % — бери каждый на уровне около $0{,}0253$.

3. Критерий Ансари — Брэдли можно применять исключительно в ситуации, когда совокупности $X$ и $Y$ различаются лишь в мерах рассеяния, в частности, не имеют сдвига друг относительно друга.

В то же время требование равенства медиан не обязательно для классического $F$-критерия, основанного на отношении выборочных дисперсий. В следующем параграфе рассматривается (похожий на ранговый) критерий Мозеса, для которого равенство медиан также не требуется.

Смысл по-пацански: Ансари — Брэдли меряет «кто по краям строя». Если чужой район просто весь выше ростом, его пацаны окажутся в одном конце строя — и критерий начнёт путать «выше» с «разношёрстнее» или вообще перестанет что-либо видеть. Центр должен совпадать.

В виджете — моделирование: подвинь «мешающий сдвиг медиан» и смотри, как тает мощность Ансари — Брэдли. А переключи закон на Лапласа или Коши при $\sigma_2/\sigma_1 = 1$ — и увидишь, почему $F$-критерию нельзя доверять без нормальности.

Проверь себя