Глава 11. Контрольные вопросы

Какое $c_\alpha$ подойдёт для построения доверительного интервала $(X_{(1)} - c_\alpha, X_{(1)})$ с помощью статистики $X_{(1)}$ в модели равномерного распределения на отрезке $[\theta, \theta + 1]$?

Как доказать, что $Z_1^2$ имеет гамма-распределение с параметрами $\alpha = \lambda = \tfrac12$, если $Z_1 \sim N(0, 1)$?

Чему равно $\mathbf{M}R_k^2$ для $R_k^2 \sim \chi_k^2$? Попробуй догадаться без вычислений.

К какому распределению стремится $t_k$ при $k \to \infty$?

Подсказка. Используй закон больших чисел и свойства сходимости или найди предел последовательности плотностей $p_{T_k}(x)$.

Как доказать, что для ортогональной матрицы $C$ обратная $C^{-1} = C^T$ тоже ортогональна и $|\det C^T| = 1$?

При каком значении $p_2$ доверительный интервал из задачи 1б имеет наименьшую длину?