Глава 5. Контрольные вопросы

Число успехов $Z_n$ в схеме Бернулли имеет биномиальный закон со средним $np$ и дисперсией $np(1-p)$. Что будет с законом нормированной величины $\dfrac{Z_n - np}{\sqrt{np(1-p)}}$ при $n \to \infty$ и фиксированном $p$?

Чему равна дисперсия пуассоновской величины $N$ с параметром $\lambda$?

Утверждение 3 из §2 дало функцию распределения $k$-й порядковой статистики равномерной выборки. А какова она для выборки из произвольного закона с функцией распределения $F$?

Однозначно ли представление функции распределения в виде смеси? Например, можно ли разложить $\tilde F$ из задачи 2 как-то иначе?

Пусть $f(x) = \sum_{k=0}^{m} a_k x^k$ — многочлен с неотрицательными коэффициентами, и $\int_0^1 f(x)\,dx = 1$. Как смоделировать величину с плотностью $f$ на $[0,1]$?

В методе Неймана на отрезке $[a, b]$ с высотой прямоугольника $C$: сколько в среднем точек приходится кинуть, чтобы получить одно число?

В игре из §4 соперник играет равновероятно: $p_2 = \tfrac12$. Как тебе играть, и сколько ты тогда выигрываешь в среднем за партию?

Пусть ты знаешь стратегию соперника $p_2$ (например, подсмотрел по длинной истории его ходов). Как выбрать $p_1$, чтобы выигрывать максимум?