Глава 3. Метод Монте-Карло

Во второй главе мы научились плодить псевдослучайные числа. Теперь пустим их в дело: метод Монте-Карло — это решение серьёзных математических задач бросанием жребия. Название — в честь казино в Монако.

Главная идея проста до наглости: вместо аккуратных формул кидай случайные точки и усредняй. По закону больших чисел среднее сходится к ответу, а центральная предельная теорема говорит, насколько ему можно верить. Дальше увидим, где жребий слабее честного счёта, а где — незаменим.

Параграфы

• §1. Вычисление интегралов — считаем площадь под кривой жребием: среднее значений функции в случайных точках сходится к интегралу.
• §2. «Правило трёх сигм» — насколько точен метод: оценка погрешности через ЦПТ, нормальное распределение и правило 68—95—99,7 %.
• §3. Кратные интегралы — где Монте-Карло незаменим: интегралы в многих измерениях, с которыми сетка не справляется.
• §4. Шар в $k$-мерном кубе — парадокс многомерия: доля объёма шара в кубе стремительно падает с ростом размерности.
• §5. Равномерность по Вейлю — как последовательность дробных частей $\{n\alpha\}$ честно заполняет отрезок.
• §6. Парадокс первой цифры — закон Бенфорда: первые цифры реальных чисел распределены не поровну, а по логарифму.

Практика

• Задачи с разборами
• Контрольные вопросы

Что уносим из главы

Монте-Карло — универсальный станок: кидай точки да усредняй, и неважно, сколько измерений. Платишь за это точностью (погрешность падает всего как $1/\sqrt{n}$), зато там, где честные методы захлёбываются от размерности, жребий спокойно работает.