Глава 3. Независимость случайных величин: когда одно другому не мешает

Обычно вероятностную модель строят не под один опыт, а под целую серию. И часто можно считать, что опыты не влияют друг на друга — исход одного ничего не говорит про исход другого. Это свойство называется независимостью, и оно — одно из самых рабочих понятий во всём матстате. Разберём его не спеша, с жёстким разбором формул: тут легко наломать дров, если не прочувствовать.

Что такое независимость

Заходим по-простому. Два дела за вечер: отжать телефон у метро и обнести ларёк на районе. Если они независимы, то как ты провернул первое — вообще не влияет на второе. Спалился на телефоне — на шансы с ларьком это никак; выгорело — тоже никак. Дела живут каждое своей жизнью.

А теперь ключевая мысль, ради которой всё затевается: если события независимы, их вероятности перемножаются. Шанс провернуть оба дела = шанс на первое, умножить на шанс на второе. Не сложить — именно умножить.

Определение. Случайные величины $\xi_1, \dots, \xi_n$ называются независимыми, если для любых границ $a_i < b_i$

Разбираем по кирпичикам, тут новый значок:

• $\prod$ (большая «пи») — это произведение. Работает как $\sum$, только вместо сложения — умножение. «Перемножь всё, что дальше, по всем $i$».
• Левая часть $\mathbf{P}(a_i < \xi_i \le b_i,\ i = 1,\dots,n)$ — вероятность, что все величины разом попали каждая в свой промежуток. Один общий, совместный шанс на «всё сразу выгорело».
• Правая часть $\prod \mathbf{P}(a_i < \xi_i \le b_i)$ — берём шанс для каждой величины по отдельности и перемножаем.

Определение говорит: величины независимы ровно тогда, когда совместный шанс равен произведению отдельных. Вот и весь смысл. Перемножил — сошлось — значит, не влияют друг на друга.

Разберём на пальцах. Кинули две честные монеты. Шанс, что обе легли решкой:

Половина на первую, половина на вторую, перемножили — четверть. Монеты друг на друга не влияют, поэтому и перемножаем честно.

Важно, где легко спалиться. Перемножать вероятности можно только если величины независимы. Если дела связаны — например, после первого шухера менты на районе уже подняты, и второе дело идёт сложнее, — то независимости нет, и просто перемножить нельзя, получишь чушь. Независимость — это разрешение на умножение, а не всегда действующий закон.

Совместная функция распределения

Из определения вылезает удобная формула. Если взять все нижние границы равными $-\infty$ (то есть спрашивать не «попал в промежуток», а «оказался не больше, чем $x_i$»), получим:

Разбор: слева — совместная функция распределения (шанс, что все величины разом оказались под своими планками). Справа — произведение отдельных функций распределения $F_{\xi_i}$ из главы 1. То есть для независимых величин совместная «биография» просто разваливается в произведение личных биографий каждой. Знаешь каждую по отдельности — знаешь и всё вместе, достаточно перемножить.

Независимость как объём: точка в кубе

А вот теперь красивое — и тут будет 3D. Возьмём $n$ независимых величин, равномерных на отрезке $[0,1]$ (помнишь равномерное из главы 1 — «тычешь наугад»). Их можно представить как координаты случайной точки, брошенной наугад в $n$-мерный единичный куб.

И дальше — момент, ради которого всё строится. Вероятность, что эта точка попадёт в какую-то коробку-параллелепипед внутри куба, равна объёму этой коробки. А объём коробки — это произведение длин её рёбер:

Видишь? Снова произведение — потому что величины независимы. Каждое ребро коробки — это «шанс попасть в нужный диапазон по одной оси», а объём (произведение рёбер) — совместный шанс попасть по всем осям сразу. Независимость и умножение — это буквально одно и то же, просто в геометрической обёртке.

Покрути куб ниже: разбрасывай точки, двигай границы коробки по каждой оси и смотри, как доля точек внутри коробки сходится к её объёму = произведению длин рёбер.

Метафора по-нашему: три независимых «наугад» — это как швырнуть камень вслепую в комнату-куб. Шанс, что он влетит ровно в дальний угол размером в пол-метра на пол-метра на пол-метра, — это объём того угла. Маленький угол — редко попадёшь, большой — часто. И считается через произведение, а не сумму.

Схема Бернулли: одно и то же дело много раз

Особый и самый ходовой случай. Возьмём последовательность независимых бернуллиевских величин $\zeta_1, \zeta_2, \dots$ — и все с одинаковым шансом успеха $p$. Такую конструкцию называют испытаниями Бернулли (или однородной схемой Бернулли).

По-нашему это проще некуда: ходишь на дело каждый вечер, шанс выгореть $p$ один и тот же каждый раз (рука набита, район не меняется), и вечера не влияют друг на друга (вчера спалился — сегодня шансы те же). Вот это и есть схема Бернулли: одно и то же испытание «выгорело/спалился», прогнанное много раз независимо.

Это фундамент под кучу вещей дальше — например, «сколько всего дел выгорит из сотни вечеров» — это уже сумма бернуллиевских, и она приведёт нас к биномиальному распределению. Но об этом позже.

Лемма о независимости (без занудства)

Напоследок — интуитивно понятная, но мощная штука, которую часто используют в доказательствах. Если у тебя есть независимые величины и ты разбил их на непересекающиеся группы, а потом посчитал что-то своё внутри каждой группы, — то результаты по группам тоже будут независимыми.

По-дворовому: две бригады работают на разных концах района, с разными людьми, не пересекаясь. Что там наработала первая бригада, никак не связано со второй — общих людей нет, влиять нечем. Поэтому итоги бригад независимы. Доказывать не будем (при желании найдёшь в серьёзных учебниках), но чуйку держи: функции от разных, непересекающихся кусков независимого набора — снова независимы.

Пощупай руками

Проверим «объём = произведение» на коде. Набросаем кучу случайных точек в единичном кубе (три независимых равномерных координаты) и посчитаем, какая доля попала в коробку $[0,\,0{,}5]^3$. Теория говорит: объём $= 0{,}5 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}125$. Жми Run:

Доля точек липнет к $0{,}125$ — ровно к объёму. Независимость координат в действии: перемножили три половинки — получили одну восьмую.

Проверь себя