Глава 7. Задачи с разборами

Вычисли $e_{MED, \bar X}$ для выборки из закона $N(\theta, 1)$.

Пусть $X$ и $Y$ независимы и показательно распределены с параметром $\lambda = 1$.

а) Докажи, что разность $X - Y$ имеет плотность $p(x) = \tfrac12 e^{-|x|}$ (закон Лапласа).

б) Вычисли $\mathbf{D}(X - Y)$.

в) Для выборки из сдвинутого на $\theta$ закона Лапласа найди $e_{MED, \bar X}$.

Элементы выборки распределены по закону $F(x - \theta)$, где

$\Phi$ — функция распределения $N(0, 1)$. Иначе говоря, $F$ — смесь (§2 главы 5) законов $N(0, 1)$ и $N(0, 9)$ с весами $1 - \varepsilon$ и $\varepsilon$: основная масса измерений нормальная, а доля $\varepsilon$ — «засорение» с втрое большим разбросом. Найди приближённо, при каком $\varepsilon$ медиана становится эффективнее $\bar X$.

Указание. Линеаризуй функцию $e_{MED, \bar X}(\varepsilon)$ в окрестности нуля.

а) Найди значение $a$, при котором достигается минимум функции $g(a) = \mathbf{M}|\xi - a|$ для случайной величины $\xi$ с плотностью $p(x)$ (сравни с задачей 1 главы 1).

б) Определим в общем случае медиану $m$ случайной величины $\xi$ как любое число, удовлетворяющее неравенствам $\mathbf{P}(\xi \le m) \ge \tfrac12$ и $\mathbf{P}(\xi \ge m) \ge \tfrac12$. Пусть $\mathbf{M}|\xi| < \infty$. Докажи, что $g(a) = \mathbf{M}|\xi - a|$ имеет минимум при $a = m$.

Указание. Установи, что $g(a) - g(m) \ge 0$ при $a \ge m$.

Выборка размера $n$ получена из распределения

где $\alpha > 0$ — известный параметр. Каков порядок малости величины $\theta - X_{(n)}$ при $n \to \infty$? Сколько (с точностью до порядка) наблюдений потребуется, чтобы оценить $\theta = 1$ с погрешностью $0{,}1$ при $\alpha = 5$?

Докажи, что для максимума выборки из закона Коши

то есть предельным является закон экстремальных значений II типа (Фреше) с $\alpha = 1$ из §2 главы 4.

Указание. Примени правило Лопиталя.

Пусть в эксперименте по локализации источника излучения из §1 источник сидит в точке $a = 0$, $b = 0$, $c = 1$, а $(X_1, Y_1)$ — точка, где траектория пересекает плоскость $z = 0$. Будут ли независимыми

а) полярные координаты $R$ и $\Phi$ точки $(X_1, Y_1)$,

б) сами $X_1$ и $Y_1$?

Указание. Перейди к полярным координатам и воспользуйся формулой площади поверхности вращения.