Глава 11. Задачи с разборами

В модели выбора наудачу $n$ точек с координатами $X_i$ из отрезка $[0, \theta]$ с неизвестным $\theta > 0$ построй интервал с коэффициентом доверия $1 - \alpha$

а) на основе формулы (8) — центральной функции;

б) методом 2 с использованием оценки $X_{(n)} = \max\{X_1, \dots, X_n\}$.

Элементы $X_i$ выборки имеют функцию распределения $F(x - \theta)$. Пусть $F(0) = 0$, а плотность $p(x)$ такова, что $c = p(0) > 0$.

а) Найди предельный закон для величины $n(X_{(1)} - \theta)$, где $X_{(1)} = \min\{X_1, \dots, X_n\}$.

б) На его основе построй асимптотический доверительный интервал для параметра сдвига $\theta$.

Рассмотрим модель сдвига из предыдущей задачи, но потребуем теперь, чтобы $F(0) = \tfrac12$ (то есть $\theta$ — медиана) и $F$ была непрерывной. Найди коэффициент доверия интервала, образованного парой порядковых статистик $(X_{(k)}, X_{(l)})$, где $k < l$. Вычисли его значение для $k = 2$, $l = 5$, $n = 6$.

Докажи теорему 1 при $n = 2$ непосредственно, без ортогональных матриц.

Для распределения Пуассона из примера 6 построй асимптотический доверительный интервал методами 3 и 4.

Пусть $(X, Y)$ — двумерный нормальный вектор. Неизвестный коэффициент корреляции его компонент

оценивается выборочным коэффициентом корреляции

Можно показать, что распределение $\sqrt n(\hat\rho_n - \rho)$ сходится при $n \to \infty$ к $N\bigl(0, (1 - \rho^2)^2\bigr)$. Найди преобразование, стабилизирующее дисперсию $\hat\rho_n$ (впервые предложено Р. Фишером).