§1. Уточнение модели: от пар к приращениям

Методы этой главы предназначены для выявления неоднородности реализаций выборок $X_1, \dots, X_n$ и $Y_1, \dots, Y_n$ одинакового размера, которые нельзя считать независимыми между собой (§2 главы 14).

Приращения

Прежде всего уточним статистическую модель из §1 главы 14 применительно к этой ситуации. Вычислим приращения $Z_i = Y_i - X_i$, $i = 1, \dots, n$, и разложим каждое на две части:

где $\theta$ — интересующий нас эффект воздействия, систематический сдвиг (будем считать его положительным), а $\varepsilon_i$ — случайная ошибка, в которую входит влияние неучтённых факторов на $Z_i$.

По кирпичикам: $Y_i$ и $X_i$ одного человека тесно связаны — у гипертоника давление высокое и до, и после. Но в разности $Y_i - X_i$ «личные особенности» человека в основном сокращаются, и остаётся то, что сделало лекарство, плюс шум.

Смысл по-пацански: не сравнивай всех «до» со всеми «после» — сравни каждого с самим собой. Тогда разница между людьми перестаёт мешать.

Допущение Д6

В дополнение к допущениям Д1–Д3 из §1 главы 14 предположим, что выполнено условие

• Д6. Случайные величины $\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n$ независимы и имеют непрерывные (вообще говоря, разные) распределения такие, что

Это означает, что медианы распределений ошибок $\varepsilon_i$ равны нулю (§2 главы 7). Разные распределения — это нормально: у одного человека шум больше, у другого меньше. Важно лишь, что шум в среднем по вероятности не сдвигает ни вверх, ни вниз.

Почему допущений главы 14 мало

Замечание 1. Предположения Д1–Д3 из §1 главы 14 не обеспечивают одинаковой распределённости $\varepsilon_i$ и даже их независимости. Пусть $X_1$ и $X_2$ независимы и распределены по закону $\mathcal N(0, 1)$. Положим $Y_1 = X_1 + X_2$ и $Y_2 = X_1 - X_2$. Нетрудно проверить, что $Y_1$ и $Y_2$ распределены по закону $\mathcal N(0, 2)$ и независимы, так как $\mathrm{cov}(Y_1, Y_2) = 0$ (П9). Но

Отсюда $\varepsilon_1 = Z_1 - \theta \sim \mathcal N(-\theta, 1)$, а $\varepsilon_2 = Z_2 - \theta \sim \mathcal N(-\theta, 5)$. Мало того, что у $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$ разные распределения, они ещё и зависимы, то есть нарушается условие Д6:

Смысл по-пацански: то, что каждая кучка сама по себе «правильная», ещё ничего не говорит о разностях. Условия надо ставить прямо на приращения.

Гипотеза и альтернатива

Итак, пусть выполнено Д6. Рассмотрим задачу проверки гипотезы $H_0'\colon \theta = 0$ против альтернативы $H_3'\colon \theta > 0$. Штрих указывает, что гипотеза и сдвиговая альтернатива задаются не для пары законов $(F, G)$, как в §1 главы 14, а для распределений приращений $Z_i$. Для решения используем критерии знаков (§2) и знаковых рангов Уилкоксона (§3). Их обобщения для многомерных данных — в §2 главы 23.

Проверь себя