§1. Моделирование дискретных величин: режем отрезок на куски

Дискретная величина принимает отдельные значения $c_1, c_2, \dots$ с вероятностями $p_k = \mathbf{P}(\xi = c_k)$. Сколько клиентов зашло в ларёк, сколько раз выгорело дело из двадцати — всё такие. Как штамповать их из равномерных чисел?

Общий метод: нарезка

Разрежем отрезок $[0,1]$ на куски длины $p_1, p_2, \dots$ подряд. Границы кусков — накопленные суммы:

Кидаем равномерное число $y$. Если оно попало в кусок $(r_{j-1}, r_j]$ — выдаём значение $c_j$. Шанс попасть в кусок равен его длине $p_j$, так что значения выпадают ровно с нужными вероятностями.

По кирпичикам: это тот же метод обратной функции из главы 4, только функция распределения теперь — лесенка со ступеньками высоты $p_k$. «Обратная» к лесенке находит первую ступеньку, на которую дотягивается высота $y$: $F^{-1}(y) = \inf\{x : F(x) \ge y\}$.

По-дворовому: делишь общак на доли по договорённости и кидаешь жребий-указку на отрезок. В чью долю попала указка — тому и достаётся.

Для частных законов бывают способы проще и быстрее. Например, геометрический закон $\mathbf{P}(\nu = k) = (1-p)^k p$, $k = 0, 1, \dots$ вообще не надо нарезать: достаточно гнать испытания Бернулли и считать неудачи до первого успеха.

Биномиальное распределение

Определение. Величина $Z_n$ имеет биномиальное распределение с параметрами $n$ и $p$, если

$$b(k, n, p) = \mathbf{P}(Z_n = k) = C_n^k\, p^k (1 - p)^{n-k}, \qquad k = 0, 1, \dots, n.$$

По кирпичикам:

• $C_n^k = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ — число сочетаний: сколькими способами выбрать, в каких $k$ из $n$ испытаний был успех.
• $p^k$ — шанс, что выбранные $k$ испытаний выгорели.
• $(1-p)^{n-k}$ — шанс, что остальные $n - k$ спалились.

Утверждение 1. Если $\zeta_1, \zeta_2, \dots$ — схема Бернулли с вероятностью успеха $p$, то число успехов $Z_n = \zeta_1 + \dots + \zeta_n$ имеет биномиальное распределение.

Отсюда и датчик: проводишь $n$ испытаний и считаешь, сколько выгорело. Доказательство — индукцией по $n$ с тождеством $C_n^{k-1} + C_n^k = C_{n+1}^k$: $k$ успехов в $n+1$ испытаниях — это либо $k$ успехов в первых $n$ и неудача в последнем, либо $k-1$ успех и успех в последнем.

Из свойств матожидания и дисперсии суммы сразу получаем $\mathbf{M}Z_n = np$ и $\mathbf{D}Z_n = np(1-p)$: у каждого слагаемого среднее $p$ и дисперсия $p(1-p)$, и они просто складываются.

Распределение Пуассона и закон редких событий

Определение. Величина $N$ имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda > 0$, если

$$p(k, \lambda) = \mathbf{P}(N = k) = \frac{\lambda^k}{k!}\, e^{-\lambda}, \qquad k = 0, 1, \dots$$

Его среднее равно $\lambda$:

(Сократили $k$ с факториалом, вынесли одну $\lambda$, а оставшаяся сумма — это сумма всех вероятностей Пуассона, то есть 1.)

Откуда он берётся. Возьми биномиальное с огромным $n$ и крошечным $p$, но так, чтобы среднее $np = \lambda$ оставалось на месте. Тогда

потому что $(1-p)^n = (1 - \lambda/n)^n \to e^{-\lambda}$, а скобка уходит в 1. Это называют законом редких событий: много попыток, каждая почти никогда не срабатывает. Звонки в дежурку за час, опечатки на странице, клиенты у ларька в тихий вечер — всё по Пуассону.

Датчик Пуассона на произведениях

Утверждение 2. Пусть $\tau_1, \tau_2, \dots$ — независимые показательные величины с параметром $\lambda$, а $S_n = \tau_1 + \dots + \tau_n$. Обозначим через $N$ число сумм $S_n$, попавших на отрезок $[0,1]$. Тогда $N$ распределено по Пуассону с параметром $\lambda$.

Смысл: если промежутки между событиями показательные, то число событий за единицу времени — пуассоновское. Маршрутки приходят «без памяти», а сколько их пришло за час — Пуассон.

Доказательство опирается на главу 4: $S_n \sim \Gamma(n, \lambda)$, и

Теперь датчик. По методу обратной функции $\tau_j = -\frac1\lambda \ln y_j$. Условие «сумма ещё не вылезла за 1» означает $-\frac1\lambda \sum \ln y_j \le 1$, то есть $\prod y_j \ge e^{-\lambda}$. Логарифмы исчезают совсем:

Перемножай равномерные числа, пока произведение не упадёт ниже $e^{-\lambda}$, и считай, сколько раз успел умножить. Одна экспонента на всё про всё.

Покрути виджет: три закона, у каждого свой книжный датчик, столбики частот против точек теории.

Закон редких событий кодом: сравним биномиальное с большим $n$ и маленьким $p$ с Пуассоном при том же среднем.

При $n = 10$ биномиальное ещё заметно отличается от Пуассона, а при $n = 1000$ совпадает почти до четвёртого знака.

Проверь себя