Глава 1. Задачи с разборами

Докажи, что функция $f(a) = \mathbf{M}(\xi - a)^2$ достигает минимума при $a = \mathbf{M}\xi$, и этот минимум равен $\mathbf{D}\xi$.

По-нашему: мы пытаемся «прицелиться» числом $a$ поближе к случайной величине $\xi$. Ошибку меряем средним квадратом промаха. Вопрос: каким числом целиться, чтобы в среднем мазать меньше всего?

Пусть $\eta_1, \dots, \eta_n$ независимы и равномерно распределены на $[0,1]$. Вычисли математическое ожидание и дисперсию их среднего арифметического $\bar\eta = \tfrac1n(\eta_1 + \dots + \eta_n)$.

По-нашему: n корешей, каждый наугад тычет в отрезок [0,1]. Берём средний результат по бригаде. Где он в среднем и насколько скачет?

Для тех же $\eta_1, \dots, \eta_n$ (независимые равномерные на $[0,1]$) найди функцию распределения $F_{\eta_{(n)}}(x)$, математическое ожидание и дисперсию максимума $\eta_{(n)} = \max\{\eta_1, \dots, \eta_n\}$.

По-нашему: та же бригада тычет наугад в [0,1], но теперь берём не среднее, а самого «жирного» — максимальный результат. Куда он тянется с ростом бригады?

Обозначим через $\nu$ число «неудач» до появления первого «успеха» в схеме Бернулли с параметром $p$. Вычисли $\mathbf{M}\nu$.

По-нашему: ходишь на дело, шанс выгореть каждый раз $p$. $\nu$ — сколько раз спалишься подряд, пока наконец не выгорит. Сколько в среднем осечек до первой удачи?

Стратегия поиска больных (метод Дорфмана). Всех разбивают на пары и смешивают кровь. Если объединённая проба чистая — оба здоровы (1 тест). Иначе тестируют первого: если он здоров, значит болен второй (2 теста); если первый болен — тестируют и второго (3 теста). При каких вероятностях заболевания $p$ парная стратегия в среднем экономичнее, чем проверять каждого по отдельности?

Это та самая тема из главы 4, но теперь считаем строго.